Статья «Моделирование при обучении младших школьников решению задач»
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ ОБУЧЕНИИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Ярмошук Екатерина Петровна
Студент 5курса
Факультет дошкольного начального и специального образования
Национальный исследовательский университет "БелГУ"
Белгород ул. Студенческая 14
e-mail: yarmoshuk.katya@mail.ru
Аннотация
В данной статье рассматривается актуальность использования моделирования при обучении младших школьников решению задач в соответствии с требованиями ФГОС НОО к предметным результатам освоения ООП НОО по математике. Дается описание структуры математической задачи. Подробно описывается понятие «модель», его характеристика. В работе указаны условия использования приемов моделирования при обучении младших школьников решению задач.
Ключевые слова: моделирование, модель, математическая задача, образовательный процесс, решение задач, управление образовательным процессом, федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования.
В ФГОС НОО, в требованиях к предметным результатам освоения основной образовательной программы начального общего образования по математике, одним из требований является умение решать текстовые задачи. Обучение решению задач – один из наиболее сложных периодов обучения математике. В настоящее время младшие школьники обучаются по различным программам, которые дополняются и усложняются, значит, должна совершенствоваться методика обучения решению задач, усовершенствоваться методы, объединяя в себе опыт прошлого и современные разработки [6].
Математическая задача – это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии [14]. Задача – описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения [2]. Любая задача представляет собой единство условия и вопроса. В условии указываются связи между числами, между данными и искомым; эти связи определяют дальнейший выбор арифметических действий. Вопрос задачи – это указание того, что необходимо найти. Он может быть выражен предложением в повелительной или вопросительной форме [1, с.178].
Если рассматривать задачу в узком смысле, то можно выделить в ней следующие составные элементы: словесное изложение сюжета, в котором указана функциональная зависимость между величинами (явно или в косвенной форме), числовые значения которых входят в задачу; числовые данные, о которых говорится в тексте задачи; задание, сформулированное в форме вопроса, в котором предлагается узнать значения одной или нескольких величин.
Все арифметические задачи по числу действий, которые необходимо выполнить для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить арифметическое действие один раз, называется простой. Если для решения задачи необходимо выполнить несколько связанных между собой действий (независимо от того, будут ли это разные или одинаковые действия), то она называется составной. В начальном курсе математики рассматриваются простые задачи и составные в 2-4 действия [1, с.179-180].
Составная задача состоит из нескольких простых, связанных между собой таким образом, когда искомое одной простой задачи служит данным другой. Решение составной задачи сводится к расчленению её на простые и к последовательному их решению. Следовательно, для решения составной задачи надо установить систему связей между данными и искомым, в соответствии с которой выбрать, а затем выполнить арифметические действия.
Запись решения составной задачи с помощью составления по ней выражения позволяет акцентировать внимание обучающихся на логической стороне работы над задачей, видеть ход решения её в целом. В то же время дети учатся записывать план решения задачи и экономить время [1, с.179].
В решении составной задачи есть новое по сравнению с решением простой задачи: здесь устанавливается не одна связь, а несколько, в соответствии с которым определяются арифметические действия. Поэтому проводится специальная работа по ознакомлению детей с составной задачей, а также по формированию у них умений решать такие задачи [14].
В качестве основных способов решения задач выделяются арифметический и алгебраический способы. Решая первым способом, ответ на вопрос задачи можно найти путем осуществления действий над числами. Арифметические способы решения задач отличаются друг от друга количеством действий, отношениями между данными, данными и искомым, лежащим в основе выбора арифметических действий, или последовательностью использования этих отношений при выборе действий. При алгебраическом способе решить задачу можно в результате составления и решения уравнения.
Научить решать задачу предполагает обучение учащихся осознанно устанавливать связи между данными и искомыми величинами, заданными условием задачи, на основе чего выбирать, а затем, выполнить арифметическое действие, и дать ответ на вопрос задачи.
В начальной школе ведется работа над группами задач, решение которых основано на одних и тех же связях между данными и искомым. Они отличаются конкретным содержанием и числовыми данными. Группы таких задач называются задачами одного вида [18, с. 128].
Основная цель работы с задачами – научить обучающихся осознано устанавливать связи между данными и искомым в разных ситуациях, предусматривая их постепенное усложнение. Для этого, педагогу необходимо выделить в методике обучения решению задач каждого вида ступени:
подготовительную работу к решению задач рассматриваемого вида;
ознакомление с решением задач данного вида;
закрепление умения решать задачи рассматриваемого вида [1, с.181]
а) подготовительная работа к решению задач.
На данной ступени обучающимися должно быть усвоено знание связей, на основе которых выбираются арифметические действия, знание объектов и жизненных ситуаций, о которых говорится в задачах. [16, с.30]
Подготовительная работа к решению задач зависит от связи между данным и искомым, на которую необходимо опираться при выборе арифметического действия. На данной ступени проводятся упражнения [1, с.182]:
А) операции над множествами, элементами которых являются конкретные предметы. До введения простых задач на нахождение суммы даются задания на объединение непересекающихся множеств, подготовкой к решению задач на вычитание будут упражнения на удаление части множества и т.п. С помощью операций над множествами раскрывается конкретный смысл выражений «больше/меньше на…», «больше/меньше в … раз». Это является подготовкой для введения задач, связанных с понятием кратного отношения;
Б) знакомство с величинами, поскольку многие задачи связаны с ними;
В) определение связи между величинами путем решения задач на основе конкретного их смысла;
Г) подготовкой к решению составных задач будет обучение решению соответствующих простых задач.
Над каждым видом задач требуется специальная подготовительная работа [1, с.183].
б) Ознакомление с решением задач.
На второй ступени школьники учатся устанавливать связи между данными и искомым и в соответствии с этим выбирать необходимые арифметические действия, иными словами, дети учатся переходить от конкретной ситуации к выбору арифметического действия.
В методике работы на этой ступени соблюдаются этапы:
1 этап – ознакомление с содержанием задачи.
Ознакомиться с содержанием задачи – означает, после прочтения представить жизненную ситуацию, описанную в ней. Педагогу важно научить детей правильно читать, делая ударение на числовых данных и словах, определяющих выбор арифметического действия (например, «было», «стало поровну», «осталось» и т.п.) [1, с. 184].
2 этап – поиск решения задачи.
На данном этапе ученики выделяют величины, входящие в задачу, данные и искомое, устанавливают связи между ними и на этой основе выбирают соответствующие арифметические действия. Для этого используются специальные приемы: иллюстрация задачи (предметная или схематическая), повторение задачи, разбор и составление плана решения [1, с. 184-185].
3 этап – выполнение решения задачи.
Решение задачи – это выполнение арифметических действий, определенных при составлении плана решения, с кратким пояснением того, что находится при выполнении каждого действия. Его можно выполнить устно и письменно [1, с.190].
4 этап – проверка решения задачи.
Проверить решение задачи – значит, установить, что оно правильно или ошибочно. Используются четыре способа проверки:
составление и решение обратной задачи;
установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и данными: выполняются арифметические действия над числами, которые получатся в ответе на вопрос задачи; если получатся числа, данные в условии, то задача решена верно;
решение задачи различными способами;
установление границ искомого числа (прикидка ответа). До решения задачи устанавливаются, больше или меньше какого-то из данных чисел должно быть искомое число. После решения полученный результат сравнивается с одним из данных чисел, если он соответствует установленным границам, то задача решена верно [1, с.193].
в) закрепление умения решать задачи.
Цель работы на данной ступени – сформировать у обучающихся умение решать задачи с определенной связью между данным и искомым. Важно, чтобы ученик обобщил способ решения и умел решить любую задачу определенного вида. Для правильного обобщения способа решения определенного вида задач является решение достаточного числа их, но не подряд, а рассредоточено. Это необходимо, чтобы предупредить запоминание способа решения. [1, с.195].
Совершенствованию способности решать задачи нового вида помогают упражнения на сравнение решений задач данного вида и ранее рассмотренных, похожих с задачами нового вида. Такие упражнения способствуют предупреждать смешение способов решения задач данных видов.
Важно создавать условия, при которых каждый будет работать в силу своих возможностей, т.е. нужно реализовывать дифференцированный подход, предъявляя требования разного уровня к группам [18, с.130].
Формированию умения решать задачи рассматриваемого вида способствуют упражнения творческого характера. К ним относятся: решение задач повышенной трудности, решение несколькими способами, решение задач с недостающими и лишними данными, решение задач, имеющих несколько решений, а также упражнения в составлении и преобразовании задач [18, с.131].
Таким образом, анализ теоретико-методической литературы по изучаемой проблеме дал возможность сделать выводы. Задачи, выступая в роли конкретного материала для формирования знаний, дают возможность связать теорию с практикой. Их решение формирует у детей практические умения, необходимые человеку в повседневной жизни. Работая с задачами, ученик понимает, что многие математические понятия имеют место в реальной жизни. Задачи способствуют развитию логического мышления, умения проводить анализ и синтез, абстрагировать, обобщать, конкретизировать, видеть связи, существующие между явлениями, а также способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, формированию интереса к процессу поиска решения.
Правильно организованная работа по обучению младших школьников решению задач, станут основой для успешной деятельности по работе с задачами в средней и старшей школе.
Моделирование на уроках математики в начальной школе при обучении решению задач
Моделирование как средство познания в науке стало развиваться в ХХ веке, получив признание во многих ее отраслях. В настоящее время прием моделирования достаточно широко используется в разных видах научной деятельности. Его суть заключается в том, что для изучения объекта выбирается или строится объект (модель), относительно похожий на тот, который изучается. Иными словами, моделирование – это замена абстрактных предметов, действий реальными объектами – уменьшенными образами, моделями, а также их заменителями: схемами, рисунками, чертежами [9, с. 89].
В современной системе образования моделирование рассматривается с точки зрения формирования его как одного из учебных действий, которое входит в группу познавательных универсальных учебных действий [7, с. 26]. Согласно ФГОС НОО выпускники начальной школы должны научиться использовать знаково-символические средства представления информации для создания моделей изучаемых объектов и процессов, схем решения учебных и практических задач, что связано с действием моделирования [20, с. 8].
Обучение моделированию является важной составляющей практики преподавания, т.к. оно используется в начальной школе не только как основное средство усвоения математических понятий, но и как материал, который способствует развитию математического мышления и творческой деятельности учащихся, а также формирует умение применять теорию на практике.
Процесс моделирования предполагает выполнение следующих действий:
1. Анализ объекта/материала, подлежащего моделированию.
2. «Перевод» данных на язык знаков и символов. Особое внимание уделяется взаимно-однозначному соответствию между выделенными элементами и элементами модели. Без этого модель не будет давать правильного представления об изучаемом явлении.
3. Обозначение одинаковых отношений и элементов одинаковыми символами, а разных - разными.
4. Изменение модели.
5. Соотнесение модели с реальным объектом (который моделировался). Это позволяет получить новую информацию об исследуемом объекте, глубже изучить его суть. Данные действия являются целью моделирования [16, с. 60].
Процесс моделирования предполагает наличие объекта исследования, субъекта (исследователя), перед которым стоит задача и модели, которая создается для приобретения важной информации об изучаемом объекте, и которая необходима для решения поставленной задачи. Модель может быть «копией» объекта, оформленной в ином масштабе, с отсутствием второстепенных деталей, а может отображать реальный объект более абстрактно - являться его словесным описанием по определенным правилам [13, с. 77].
Модель – аналог реального процесса, объекта или явления, используемый как заменитель оригинала; специально созданный в виде чертежа, схемы, математической формулы объект. Один объект может быть представлен несколькими моделями, а разные объекты – одной [9, с.88].
В математическом моделировании модель представляет собой некую теоретическую копию, которая в математической форме отражает основные законы и свойства исследуемого объекта [5, с. 55].
При построении модели необходимо выделить наиболее существенные, свойства объекта, которые необходимы для ее последующего использования.
Модель должна обладать следующими свойствами [13, с.78]:
- адекватность – довольно точное отражение свойств изучаемого объекта;
- оконченость – каждая модель отражает объект только в конечном числе его отношений и свойств;
- простота – модель отражает только важные стороны изучаемого объекта;
- информативность – модель содержит всю необходимую информацию об изучаемом объекте в пределах определенных при ее построении гипотез;
- гибкость – модель дает возможность отражения разных ситуаций при изменении условий [13, с. 78].
Единой классификации моделей нет. Выделяют:
по области применения: учебные модели (наглядные пособия, тренажеры), игровые, опытные (аналоги объектов, используемые для исследования их характеристик), исследовательские (применяются для исследования процессов или явлений);
по способу представления: материальные модели (предметные, которые имеют реальное воплощение и отображают физические свойства оригинала) и информационные, не имеющие материального воплощения.
по типам средств, используемых для построения модели: схематизированные и знаковые [9, с. 90].
Более полная классификация была разработана Л. П. Стойловой. Она выделяет словесные, математические и вспомогательные виды моделей.
Словесная модель - форма высказываний (утверждения, требования).
Математическая модель (арифметический и алгебраический методы решения задачи) – описание реального процесса на языке математики.
Вспомогательные модели подразделяются на схематизированные (предметные, графические, словесно-графические) и знаковые. Они обеспечивают переход от текста к математической модели [17, с. 201].
Прием моделирования широко используется в начальных классах при обучении решению задач. Многие методисты и психологи рассматривают процесс решения задачи как поиск системы моделей. Модель является некой формой отражения строения задачи, а ее преобразование осуществляется с помощью обобщения, абстрагирования и построения математической модели. Овладение моделированием определяет успех решения задачи, поэтому обучение данному приему должно иметь место в процессе формирования у младших школьников умения решать задачи [3, с. 27].
Задача – это словесная модель некоторого явления (ситуации, действия). Реальные объекты и процессы, описанные в задаче, бывают настолько сложны и многогранны, что наилучшим способом их изучения становится построение и исследование модели. Обучающийся в процессе работы с задачей не имеет возможности непосредственно исследовать описанную ситуацию. Смысл решения состоит в том, что ситуацию необходимо описать посредством математических символов. Поэтому, наиболее важными для обучающегося становятся количественные характеристики данной ситуации и характер связей между ними. Следовательно, чтобы решать задачу, ученику необходимо научиться «отбрасывать» второстепенные детали и оставлять те, которые важны для записи решения. Так обучающийся строит абстрактную модель реально описанной в задаче ситуации. От того, насколько правильно он построит модель, зависит правильность ее решения. Правильно подобранная модель облегчает процесс решения задачи [15, с. 12].
При создании моделей любого вида важно правильно определить, что должно быть включено в нее, какие средства (символы, знаки) будут употребляться для каждой составляющей текста. Необходимо определить, какие из них будут иметь одинаковую символику, а какие – разную [3, с. 29].
При работе с задачами используются как схематизированные, так и знаковые модели. К схематизированным относятся предметные, графические и словесно-графические. Предметные модели задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут создаваться из каких-либо предметов (пуговиц, палочек, и т.д.). Графические модели используются для обобщенного схематического воссоздания ситуации, описанной в задаче. К ним относят: рисунок; график; чертеж; схема. Словесно-графические модели задач могут быть выполнены как на естественном языке (краткая запись, таблицы), так и на математическом, когда используются математические символы [5, с. 56].
Одним из видов моделей, с которым знакомятся дети в 1 классе, является краткая запись – представление в емкой форме содержания задачи с помощью опорных слов, значений известных величин и связей между ними. Она должна быть логически завершенной, наглядно отражать связь между величинами. Но часто при выборе арифметического действия обучающийся обращает внимание только на опорные слова, а ситуацию, предложенную в задаче, не анализирует. В данном случае, краткая запись тормозит поиск решения, не давая возможности школьникам в полной мере представить жизненную ситуацию, описанную в задаче, осмыслить зависимости между величинами, а потому они механически манипулируют числами. Чтобы избежать таких ошибок, обучающимся необходимо предложить составить модель другого вида [15, с.13].
В 1 классе чаще используется модель-рисунок. Сначала лучше использовать рисунок сюжетный, после – предметный, а затем – схематический (в виде геометрических фигур) [5, с. 57].
Построение чертежа целесообразно использовать при работе с задачами, в которых присутствуют отношения значений величин, а также при решении задач на движение. Необходимо соблюдать отношения, указанные в условии: большее расстояние изображать большим отрезком, меньшее – меньшим. Чертеж наглядно иллюстрирует отношение значений величин, а в задачах на движение помогает схематически изобразить описанную ситуацию [5, с. 57].
Схема – чертеж, на котором все взаимосвязи величин передаются без соблюдения масштаба. Ее использование эффективно по ряду причин:
1) исключает пересчет (как и чертеж);
2) может использоваться при решении задач с большими числами, буквенными данными;
3) дает возможность подняться на довольно высокую ступень абстрактности, поскольку не отражает никаких других отношений, кроме количественных; выбор действий происходит не с учетом «главного» слова, а исходя из тех происходящих изменений, отраженных в модели;
4) их использование способствует формированию способа действия в решении задач одного типа.
Со схемой можно знакомить обучающихся уже во втором классе при решении обратных задач, решении задачи разными способами и т.п [11, с. 40].
Графическая наглядность» очень важна в процессе обучения младших школьников решению задач, поскольку является средством развития сложных форм конкретного мышления и формирования представлений о математических понятиях. По мнению Л. Ш. Левенберг, эта наглядность не только помогает школьникам осознаннее определить невидимые связи между величинами, но и стимулирует их мыслительную активность, поиск более рациональных путей решения, учит умениям применять знания на практике [8, с. 103].
Таблицы применяются при решении задач на тройку пропорциональных величин: цена - количество - стоимость; время - скорость - расстояние. Этот вид модели схож на краткую запись, но в нем данные не расставляются по строчкам к опорным словам, а оформляются в таблице.
Таким образом, прием моделирования в процессе решения задач заключается в том, что для изучения некоего объекта (задачи) строят еще объект (модель), который в каком-либо отношении подобен первому. Новый объект исследуют, с его помощью решают поставленные задачи, а результат далее переносят на первоначальный объект.
Использование моделирования при работе с задачами направлено на формирование математического мышления и способов осуществления поиска плана решения на основе данного приема, пути развития необходимых для реализации этого умений и способов действий. Модели помогают понять смысл описанной ситуации, а затем найти ее возможное решение, овладеть умением записывать задачу с помощью построения рисунка, схемы, обосновать каждый этап анализа задачи, а также проверять правильность ее решения [19, с. 457].
Использование приема моделирования в начальной школе при обучении решению задач, приводит к тому, что в дальнейшем младший школьник будет использовать данный прием как наиболее результативный способ решения математической задачи.
Условия использования приема моделирования при обучении младших школьников решению задач
Процесс обучения младших школьников моделированию – довольно сложный вид работы педагога. Для того, чтобы он был эффективен, необходимо соблюдать ряд условий.
Во-первых, моделирование в процессе решения задачи должно проходить поэтапно. Выделяют следующие этапы моделирования [9, с. 89]:
этап – предварительный анализ текста;
этап – перевод условия задачи на язык математики; определение необходимых данных и искомого для решения задачи и описание математическими способами связей между ними (построение модели);
этап – работа с моделью – решение внутри модели: последовательное осуществление решения задачи (в зависимости от способа решения задачи)
этап – интерпретация – переведение полученного решения на язык, с помощью которого была сформулирована задача изначально; процесс соотнесения результатов с текстом задачи.
Каждый из перечисленных этапов имеет свое содержание, состав операций и свои средства. Предварительный анализ способствует пониманию смысла задачи. Он заключается в определении ключевых слов текста задачи. В деятельности моделирования данный этап является подготовительным для дальнейших действий построения модели [4, с. 61].
В процессе перевода текста (второй этап) становятся видимыми связи между данными, которые были скрыты в тексте задачи. Это способствует осуществлению поиска и нахождению решения. Чтобы облегчить его, обучающимся предлагается построить вспомогательные модели. В данном случает процесс решения задачи представляет собой переход от одной модели к другой: от словесной модели ситуации, к вспомогательной (рисунки, схемы и т.д.); а от нее – к математической, на которой происходит непосредственно решение задачи.
Осмысление обучающимися задачи также проходит поэтапно и включает.
1 – переход от словесной модели к образу. Его трудность заключается в том, что обучающемуся необходимо уметь отвлечься от довольно ярко выраженных свойств описанного предмета или конкретности текста задачи.
2 - переход от мысленной модели к знаково-символической.
Трудность перехода состоит в правильном выборе действия [9, с. 89].
Работу с моделью – 3 этап – можно проводить в нескольких направлениях: а) достраивание модели, исходя из перекодировки данных в задаче; б) изменение типа модели, иными словами, ее переконструирование [9, с. 89].
Основное назначение моделирования – получение новых сведений о реальности или ее описание, поэтому важным этапом деятельности моделирования является интерпретация результатов – соотнесение полученных результатов с текстом задачи. Главным при проверке ответа задачи для деятельности моделирования является не определение его правильности, а соотнесение полученных данных с их описанием в тексте задачи [9, с. 90].
Во-вторых, применение моделирования должно определяться уровнем подготовленности обучающихся к восприятию и осознанию материала. При этом важно нужно учитывать, что степень подготовки обучающихся при построении и последующей работе с моделью определяется не путем выявления степени умения ученика техники построения модели, а тем, какой степени подвижности его образное мышление, насколько он готов к мысленно преобразовать образно-знаковые модели [9, с. 90].
В-третьих, при обучении младших школьников решению задач необходимо использовать разные виды моделей.
Построение предметной модели способствует обогащению чувственных представлений и опыта школьника. Она используется при ознакомлении с решением задачи нового вида и позволяет реализовать принцип наглядности, в соответствии с которым обучение строится на образах, непосредственно воспринимаемых детьми [6, с. 42].
Краткая запись – часто встречающийся вид модели; он способствует облегчению процесса перехода от словесной модели (текста задачи) к представлению ситуации, описанной в ней. С ней необходимо знакомить в конце 1 класса, т.к. младшие школьники на данном этапе обучения уже способны записывать текст. Удачно введение краткой записи параллельно с рисунком.
Рисунок в 1 классе используется часто, поскольку в задачах описываются доступные ребенку-первокласснику предметы; процесс рисования в данном возрасте является развивающим упражнением моторики рук [15, с. 13].
Но не следует чрезмерно использовать рисунок, поскольку учащиеся тогда не будут понимать важности выбора арифметического действия; процесс рисования занимает много времени, а сам рисунок не способствует формированию умения переводить текст задачи на математический язык. Рисунки часто не позволяют младшему школьнику отойти от внешних признаков и увидеть существенное, которое и объединяет задачи [5, с. 58].
Таблица используется при решении задач с процессами купли-продажи, движения, работы, нахождения целого по части или количеству частей и др.
Чертеж применяется, когда числовые данные, имеющиеся в задаче, дают возможность изобразить их на отрезке определенной длины [4, с. 61].
Со схемой можно знакомить обучающихся уже во втором классе при решении обратных задач, решении задачи разными способами и т.п.
При создании моделей любого вида необходимо определить, какую информацию нужно включить в нее, какие символы нужно употреблять, какие из них будут иметь одинаковую символику, а какие – разную [9, с. 89].
Таким образом, учет вышеперечисленных условий позволит не только достичь планируемых предметных результатов при обучении младших школьников решению задач путем моделирования, но также позволит упорядочить и обогатить знания, полученные обучающимися ранее, вывести и построить новые знания, будет способствовать развитию у младших школьников логического мышления, абстрагирования, умения обобщать, анализировать, иными словами, способствовать формированию у обучающихся метапредметных универсальных учебных действий (познавательных, коммуникативных и регулятивных), требуемых ФГОС НОО [20, с. 9] .
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:
Бантова М. А., Бельтюкова Г. В., Полевщикова А. М. Методика преподавания математики в начальных классах. Учеб. пособие для учащихся школьных отд-ний пед. училищ / М. А. Бантова и др. – М.: Просвещение, – 1976. – 335 с.
Белошистая А. В. Методика преподавания математики в начальной школе / А. В. Белошистая. – М.: Владос, 2005. – 455с.
Бородулько М. А., Стойлова, Л. Г. Обучение решению задач и моделирование // Начальная школа. – №8. – 2014. – С. 26-32.
Вендина А. А. Моделирование при решении текстовых задач в начальной школе / А. А. Вендина // Проблемы и перспективы развития образования в России. – 2017. – 47. – С. 59-63.
Гавриш А. И. Виды моделей при работе над текстовыми задачами в начальной школе / А. И. Гавриш // Современное образование – Актуальные вопросы, достижения и инновации: Сборник статей. – 2017. – С. 55-59.
Григорьева Ж. В. Развитие визуального мышления первоклассников на первых уроках математики / Ж. В. Григорьева // Начальная школа. – 2011. – № 8. – С. 42-46.
Клепинина З. А. Моделирование в системе универсальных учебных действий / З. А Клепинина, // Начальная школа. – 2012. – № 1. – С. 26-29.
Левенберг Л. Ш. Рисунки, схемы и чертежи в начальном курсе математики. / Л. Ш. Левенберг. – М.: Просвещение, – 2011. – 168с
Магомеддибирова З. А. Обучение младших школьников моделированию при решении математических задач / З. А. Магомеддибирова // Известия ДГПУ. Психолого-педагогические науки. – 2012. – № 2. – С. 88-93
Москвичева Н. С. Педагогический опыт: Метод моделирования при решении текстовых задач» // Всероссийский социальный проект «Страна талантов» [Офиц. сайт]. URL: https://stranatalantov.com/publications/5584/ (дата обращения: 11.12.2016).
Муртазина Н. А. Теоретические основы применения графического моделирования при обучении младших школьников математике / Н. А. Муртазина// Начальная школа плюс до и после. – 2012. – №3. – С. 38-42.
Новичихина В. И. Обучение моделированию при решении текстовых задач // Интернет-библиотека учебно-методических материалов «EduContest.Net» [Офиц. сайт]. URL: https://educontest.net/ru/230420/ (дата обращения: 01.12.2016).
Пальчикова Н. Ю. Информатика: учебное пособие для студентов, получающих образование в области физической культуры / Н. Ю. Пальчикова; М-во спорта Российской Федерации, - Хабаровск: ФГБОУ ВПО ДВГАФК, – 2012. - 109 с.
Петерсон Л. Г. Математика 1 класс. Методические рекомендации / Л. Г. Петерсон – М.: Баласс, 2015. – 397с.
Полосина И. И. Моделирование при решении младшими школьниками текстовых арифметических задач / И. И. Полосина // Актуальные вопросы современной психологи и педагогики: Сборник докладов Международной научной конференции. – 2015. – С. 12-14.
Салмина Н. Г. Применение нетрадиционных уроков в обучении математике. / Н. Г. Салмина // Первое сентября, приложение «Математика». – 2010. – №25. – С. 30 - 32.
Стойлова Л. П. Теоретические основы начального курса математики: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования / Л. П. Стойлова. — М.: Издательский центр «Академия», 2014 — 272 с.
Темербекова А. А. Методика преподавания математики: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / А.А. Темербекова и др. – Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, – 2013. – 365 с.
Толмачева Е. С. Использование моделирования в процессе обучения решению текстовых задач на уроках математики в начальной школе / Е. С. Толмачева // Студенческая наука и XXI век. – 2012. – №9. – С. 457-460.
Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования / М-во образования и науки Рос. Федерации. – 6-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 2014. – 35 с
