Факультативное занятие по алгебре (8 класс)
Пояснительная записка к презентации
Факультативное занятие по алгебре в 8 классе.
Тема: Способы решения уравнений, содержащих модуль.
Задачи:
рассмотреть некоторые методы решения уравнений, содержащих модуль;
развивать внимательность, логическое мышление, самостоятельность и творческий подход к решению уравнений с модулем;
расширять кругозор обучающихся через изучение дополнительного материала.
Ход занятия:
I. Устная работа.
1) Раскрыть модуль:
|
|4| = |-8| = |
|√²+√³| = |П –3| = |
(|х|)² = |П –4| = |
2) Решить уравнения:
|
а) |х| = 10 б) |х+2| = 0 |
в) |х–3| = –100 г) |х–3| = 2 |
II. Постановка учебной задачи.
- Какие методы решения уравнений с модулем вы знаете?
(показ слайда)
Способы решения уравнений, содержащих модуль:
1. применение определения и свойств модуля;
2. использование геометрической интерпретации модуля числа;
3. метод равносильных переходов;
4. графический метод;
5. метод замены переменной;
6. метод интервалов.
Ответы учащихся: 1, 2 и 4 способы.
На слайде приведены уравнения с модулем. Выберите те из них, которые, по вашему мнению, можно решить известными способами.
|
1) |2х+1| = 3 2) |х+2| = |х–1| 3) |х²–5х+4| = 4 4) |3х–10| = х–2 |
5) х²–6|х|–7 = 0 6) |х²+7| = 8х 7) (х+1)² –6|х+1|+9 = 0
|
Ответы учащихся: первое, второе, третье…
- То есть, не все уравнения вы сможете решить. Для этого необходимо знать ещё какие-то способы.
- Значит, на сегодняшнем занятии мы с вами должны узнать? – Другие способы решения уравнений с модулем.
III. Изучение новых способов решения уравнений.
Решите уравнение (учащиеся решают самостоятельно, с последующей проверкой на слайде).
|
|
|
|
|2х+1| = 3; 2х+1 = 3, х=1 |
или 2х+1 = –3, х= –2 |
|
Ответ: –2; 1. |
|
Таким образом, для решения уравнения вы могли использовать определение модуля либо соотношение:
|f (х)| = a, где а ≥ 0 равносильно совокупности двух уравнений f (х) = а, f (х) = –а.
- Какое ещё уравнение можно решить, применив этот переход?
Ответы учащихся: уравнение № 3.
Решаем:
|
|х²–5х+4| = 4 х²–5х+4 = 4 х²–5х = 0 х (х–5) = 0 х = 0 или х–5 = 0, х = 5. |
|
|
или х²–5х+4 = – 4 х²–5х+8 = 0 D < 0 нет корней |
|
|
Ответ: 0; 5. |
|
- Можно ли этим способом решить 5-е уравнение?
Ответы учащихся: можно, если раскрыть |х|, то есть х ≥ 0 и х < 0.
- Но оказывается, это не единственный способ.
Вспомним свойство модуля: (|x|)² = х²
Попробуем решить это уравнение методом замены переменной (решает учитель, фронтальная работа)
|
х²–6|х|–7 = 0 Пусть |х| = t, тогда t² – 6t – 7 = 0 D = 16, t1 = 7, t2 = – 1. |
|х| = 7 и |х| = – 1 нет корней х = ± 7 |
|
Ответ: – 7, 7. |
|
- Как вы думаете, какое уравнение решается этим же методом?
Ответы учащихся: 7-е уравнение.
Решаем: (1 ученик у доски)
|
(х+1)² –6|х+1|+9 = 0 Пусть |х+1| = t, тогда t²–6 t +9 = 0 D = 0, t = 3 |х+1| = 3; |
х+1 = 3 или х+1 = –3; х = 2 х = –4 |
|
Ответ: –4; 2. |
|
- Физкультминутка.
- Что общего между 4 и 6 уравнениями?
Ответы учащихся: правые части уравнений – это выражение с переменными.
З
начит, это уравнения одного типа, которые можно решить, используя следующий равносильный переход.
|
f (х)| = g (x) g (x) ≥ 0,
f (х) = g (x),
f (х) = – g (x).
Решаем 4-е уравнение:
|
4) |3х–10| = х–2; Так как х–2 ≥ 0, то х ≥ 2, тогда 3х–10 = х–2 2х = 8 х = 4 |
или 3х–10 = – (х–2) 4х = 12 х = 3 |
|
Ответ: 3; 4. |
|
6-е уравнение: |х²+7| = 8х
|
Так как 8х ≥ 0, то х ≥ 0, тогда х²+7 = 8х х² – 8х +7 = 0 D = 9 х1 = 7, х2 = 1. |
или х²+7 = – 8х х² + 8х +7 = 0 D = 9 х1 = – 1, х2 = – 7 не удовлетворяет условия х ≥ 0. |
|
Ответ: 1; 7. |
|
- Мы не решили 2 уравнение. Можно его решить известными вам способами?
Ответы учащихся: да.
-Какими?
IV. Домашнее задание.
- Попробуйте решить это уравнение (|х+2| = |х–1|) несколькими способами.
V. Итог занятия.
- С какими новыми способами решения уравнений с модулем вы познакомились сегодня? СЛАЙД
- А каких не коснулись?
Из представленных способов решения уравнений, содержащих модуль, можно сделать вывод, что ни один из них не является универсальным – одно и тоже уравнение можно решить по разному, – и для получения наилучших результатов необходимо овладеть как можно большим количеством методов решения.
Ещё Георг Цейтен, датский математик в конце 19 века говорил: «Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах».
Чем мы с вами и будем заниматься в дальнейшем! Спасибо!
