Статья на тему «Приемы составления открытых задач по математике»

Приемы составления открытых задач по математике

Совместимы ли творчество и математика? Если под словом «творчество» понимать не музыку и рисование, а «деятельность, порождающую нечто качественно новое, никогда ранее не бывшее» [1], то в математике, как и в любой деятельности, человек может проявить свои творческие способности.

Большинство методов и форм обучения математике способствует накоплению учеником суммы знаний, и в массовой школьной практике большинство математических задач рассматривается как средство отработки и закрепления школьного материала. К сожалению, имеет место и «разучивание» основных типов задач в целях успешной сдачи итоговой аттестации учащимися.

Можно ли обучить творчеству? Именно на этот вопрос и отвечает ТРИЗ-педагогика, в основу которой была положена теория решения изобретательских задач (ТРИЗ) школы Г.С. Альтшуллера.

Основным ее инструментом является «открытая задача». В отличие от «закрытых» задач, в которых есть четкое условие, известный алгоритм решения и единственный ответ, «открытые» задачи имеют «размытое» условие, различные пути решения и неоднозначные ответы. [2]

Закрытые задачи бывают двух видов: на вычисления какой-либо величины или на доказательство. Такие задачи можно даже назвать упражнениями по отработке некоторых учебных навыков при изучении нового материала.

Открытые задачи – это проблемные ситуации, встречающиеся в реальной жизни. Для решения их необходимо самостоятельно осмыслить, сформулировать условие, вопрос задачи, иногда найти сведения, необходимые для ее решения.

Открытые задачи можно разделить на «изобретательские» и «исследовательские». Можно также классифицировать их по разной степени открытости.

Как же составить открытую задачу? С чего начинать?

Сначала перечислим три основных требования к условию учебной (изобретательской или исследовательской) задачи:

Достаточность условия

Корректность вопроса

Наличие противоречия. [3]

При этом не забываем, что условие задачи должно быть связано с жизненной ситуацией.

О чем необходимо помнить при составлении открытой задачи? Она должна быть интересной, понятной по тексту и принципиально решаемой. Некоторые из текстовых задач, предложенных в школьных учебниках математики, можно превратить в открытые исследовательские задачи. Рассмотрим одну из типовых школьных задач.

Задача: Из двух городов, расстояние между которыми 420 км, навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость одного из них 68 км/ч, а скорость второго – 72 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

Данная задача имеет единственный верный ответ и алгоритм решения. Уберем из текста задачи фразу «навстречу друг другу», и задача уже имеет неоднозначное решение. При ее решении ученики разбирают не только движение «навстречу друг другу», но и движение в «противоположном направлении» или в «одну сторону». Конечно, в каждой из этих ситуаций учащиеся придут к различным ответам. Измененное условие задачи хотя и делает из «закрытой» задачи «открытую», но при этом условие ее остается таким же скучным для школьника. Изменим текст задачи, сделаем ее более современной.

Задача: Между городами Саратов и Волгоград 380 км. Из Саратова выехал автомобиль «Тойота Камри», а из Волгограда – автомобиль «Шкода Октавия». Какое расстояние будет между ними через 30 минут, если каждая машина будет ехать с максимальной скорость?

Для справки: автомобиль «Тойота Камри» развивает скорость 210 км/ч, а автомобиль «Шкода Октавия» - 240 км/ч.

Рассмотрим еще одну школьную задачу

Задача: Покупка стоит 475 рублей. Сколько сдачи получит покупатель из кассы с пяти купюр по 100 рублей каждая?

Если в условии задачи, заменить число 475 переменной А, то получим простейшую задачу с параметром, которая также приводит к неоднозначному ответу.

Как изменить условие задачи, чтобы помимо открытости, она содержала и реальные жизненные ситуации? Здесь на помощь приходят факты и информация из различных школьных дисциплин. Также все ученики любят решать задачи, в которых главными героями являются они сами, задачи «о себе любимых».

Задачи: Кирилл и Никита одноклассники. Никита живет в 2 км от школы (по прямой), а Кирилл – в 3 км. На каком расстоянии друг от друга живут Никита и Кирилл?

К этой задаче прилагаем фрагмент карты города (выполненный в масштабе) со школой и прилежащими к ней улицами.

В реальной жизни мы получаем не только числа, необходимые нам для решения проблемы, но и избыточные данные. При решении таких заданий нужно определить, какие именно из предложенных величин нужны для поиска ответа на вопрос.

Для составления задач с избыточными данными можно взять любой научно-популярный текст из школьного учебника или одной из детских энциклопедий, предложить ученикам самостоятельно найти числовые величины для этого отрывка. Придумав вопросы, которые можно задать к этому фрагменты, ученик превращает его в условие задачи. Например, рассмотрим следующий текст:

Африканский страус

Африканский страус — самая крупная из современных птиц. Страус имеет плотное телосложение, длинную шею и небольшую уплощённую голову. Клюв прямой, плоский, с роговым «когтем» на надклювье, довольно мягкий. Страусы — нелетающие птицы. Крылья у страусов недоразвитые. Задние конечности длинные и сильные, всего с двумя пальцами. Один из пальцев заканчивается подобием рогового копыта — на него птица опирается при беге. Благодаря своему росту и прекрасному зрению, страусы первые замечают опасность. В случае опасности они бросаются в бегство.

Добавим в этот фрагмент числовые величины.

Задача: Африканский страус

Африканский страус — самая крупная из современных птиц: высотой до 270 см и массой до 156 кг [Википедия]. Страус имеет плотное телосложение, длинную шею и небольшую уплощённую голову. Клюв прямой, плоский, с роговым «когтем» на надклювье, довольно мягкий. Страусы — нелетающие птицы. Крылья у страусов недоразвитые. Задние конечности длинные и сильные, всего с двумя пальцами. Один из пальцев заканчивается подобием рогового копыта — на него птица опирается при беге. Благодаря своему росту и прекрасному зрению, страусы первые замечают опасность. В случае опасности они бросаются в бегство, развивая скорость до 70 км/ч и делая шаги до 4 м длиной, и при необходимости круто меняют направление бега, не снижая скорости. Страусята вылупляются зрячие, покрытые пухом и способные к передвижению. Только что вылупившийся страусёнок весит около 1,2 кг, а к четырём месяцам достигает 18—19 кг. Молодые страусы уже в месячном возрасте могут бегать со скоростью до 50 км/ч. [4] Придумайте вопросы, превращающие данный текст в условие задачи.

Учащиеся придумывают вопросы и самостоятельно проверяют, достаточно ли данных для решения задачи. Возможные вопросы к данной задаче:

Во сколько раз вес вылупившегося страусенка меньше веса взрослого страуса?

Сколько составляет среднесуточный привес страусенка в первые четыре месяца жизни?

На какое расстояние переместится страус при бегстве, если через каждые три шага, будет менять направление движения под прямым углом к траектории, если он поменяет направление два раза? три раза?

Приобретая опыт составления и решения таких задач, школьники составляют свои собственные задачники по темам: «Растения», «Животные», «Древняя Греция».

Превратить школьные задачи в открытые изобретательские задачи лучше всего получается в геометрии. Для этого нужно только ввести в задачу ограничения (по инструментам, по материалам). Рассмотрим пример.

Задача: Наша школьная спортивная площадка будет ремонтироваться. Для расчета материалов нам нужно посчитать ее площадь. Как это сделать, если размеры площадки неизвестны и у вас только линейка 30 см, и небольшая (меньше метра) ленточка?

Лучше всего решать эту задачу практически, с выходом на местность. В этом случае можно предложить выполнить измерения различными способами и сравнить результаты.

Как показывает практика, ученики измеряют длину и ширину площадки шагами, иногда, связывая ноги ленточкой для фиксации длины шага. Измеряют ленточкой, пользуясь ею как эталоном длины и переводя результат в метрическую систему. Были и те, кто измерял длиной ступни, обходя площадку мелкими шажками.

Задача: «В русских усадьбах 19 века рядом с домом находилась парадная часть парка. Ее украшал цветник в виде клумбы овальной или округлой формы, в центре которой возвышалась ваза, скульптура или фонтан. Почти в каждой богатой усадьбе многие теплолюбивые деревья и кустарники выращивали в кадках и в летнее время выносили на открытый воздух» [5]. Пользуясь веревкой (4-5 м) и несколькими колышками, разбейте круглую клумбу и вдоль края клумбы на одинаковом расстоянии поставьте шесть кадок с цветами.

Эта задача подходит для любой командной игры на свежем воздухе. Для решения ее требуются знания геометрии 8-9 классов.

При решении этой задачи только небольшой процент учащихся начал вспоминать материал школьного курса геометрии. Большинство, проведя окружность с помощью веревки и двух колышков, расставляло кадки «на глазок», что не всегда приводило к верному результату.

Почти все задачи на доказательство школьного курса геометрии можно сделать открытыми задачами. Изучив весь курс планиметрии 7-9 классов, нужно вернуться к пройденным задачам и предложить ученикам найти другие доказательства.

Таким образом, решение и составление открытых задач позволяет ученикам выйти за пределы предмета «математика», овладеть общеучебными навыками, научиться решать практические задачи, связанные с различными жизненными ситуациями. Это позволяет реализовать требования ФГОС. Но нельзя построить весь процесс обучения только на открытых задачах. Нужно эффективно сочетать оба типа задач – открытые и закрытые.

Как показала практика, использование открытых задач повысило мотивацию школьников в изучении предмета «математика».

Литература

Значение слова ТВОРЧЕСТВО в Большой советской энциклопедии, БСЭ // slovar.cc. URL: https://slovar.cc/enc/bse/2047434.html (дата обращения: 23.01.2020).

Гин А., Кавтрев А. Креатив-бой. — 3-е изд. — М. : Вита-Пресс, 2015. — 32 с.

Гин А. Приемы педагогической техники. — 6-е изд. — М. : Вита-Пресс, 2005. — 112 с.

Страус // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%83%D1%81 (дата обращения: 23.01.2020).

Русские усадьбы // Greeninfo.ru. URL: https://www.greeninfo.ru/landscape/russian_estate.html (дата обращения: 23.01.2020).