Урок геометрии в 10 классе на тему «Теорема о трёх перпендикулярах»

Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах

Цели урока:

•  обучающие: создать условия для формирования основных понятий перпендикуляра, наклонной, проекции наклонной, расстояния от точки до плоскости; рассмотреть свойства наклонных и их проекций; рассмотреть связь между перпендикуляром, наклонной и проекцией наклонной, закрепить эти понятия в ходе решения задач.
• развивающие: развивать логическое мышление, память, пространственное воображение, познавательный интерес, расширять представления учащихся об окружающем мире, поддерживать интерес к изучаемому предмету; содействовать развитию навыка самостоятельной работы учащихся посредством вовлечения их в исследовательскую деятельность;
• воспитывающие: активизировать интерес к изучаемому материалу. 

Ход урока

1. Организационный момент. Проверка готовности к уроку.

Эпиграф урока:

«Пребудет вечной истина, коль скоро

Её познает слабый человек.

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далёкий век!»

А. Шамиссо.

2. Мотивация урока.

Ни для кого не секрет что вся элементарная геометрия пришла к нам в основном с Египта и Греции. В далекие и древние времена геометрия использовалась как наука для измерения земли, а также очень тесно при строительстве. Все теоремы и аксиомы выводили и доказывали, чтобы облегчить измерительные или строительные работы. Сегодняшняя тема была очень важна для людей того времени так как перпендикуляр и наклонная основные ориентиры при работе такого типа.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Игра «Верю-не верю»:

При пересечении прямые образуют четыре угла.

Углом между пересекающими прямыми является больший из двух смежных углов.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Через произвольную точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

Если две пересекающиеся прямые параллельны двум перпендикулярным прямым, то они тоже параллельны.

Через любую точку пространства, не принадлежащую прямой, нельзя провести прямую, перпендикулярную данной.

Если прямая, перпендикулярна одной из двух параллельных прямых и лежит с ними в одной плоскости, то она параллельна и второй прямой.

Вопросы нахождение перпендикулярных прямых и плоскостей по кубу.

Повторить теорему Пифагора.

4. Изучение нового материала.

Пусть точка A не принадлежит плоскости α . Проведем прямую a, проходящую через эту точку и перпендикулярную α . Точку пересечения прямой a с плоскостью α обозначим O. Отрезок AO называется перпендикуляром, опущенным из точки A на плоскость α.

Наклонной к плоскости называется прямая, пересекающая эту плоскость и не перпендикулярная ей. Наклонной называют также отрезок, соединяющий точку, не принадлежащую плоскости, с точкой плоскости, и не являющийся перпендикуляром.

На рисунке: АО – перпендикуляр к плоскости α, АВ – наклонная, ОВ – проекция наклонной.

Примеры материальных моделей перпендикуляров к плоскости: столб, телевизионная вышка перпендикулярны плоскости горизонта; перпендикулярно этой плоскости забивают сваи, бурят скважины, проходят шахтные стволы, запускают космические корабли. Только набрав нужную высоту, ракета отклоняется в нужном направлении.

Введение понятия расстояния от данной точки до плоскости.

Из всех расстояний от точки А до различных точек плоскости α наименьшим является расстояние до точки В. Это расстояние, т.е. длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости α, называется расстоянием от точки А до плоскости α.

Теорема о перпендикуляре и наклонной

Перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче всякой наклонной, проведенной из той же точки к той же плоскости.

Доказательство. Пусть AB – наклонная к плоскости α, AO – перпендикуляр, опущенный на эту плоскость. Соединим отрезком точки O и B. Треугольник AOB прямоугольный, AB гипотенуза, AO – катет. Следовательно, AO < AB.

Теорема о трех перпендикулярах

Доказательство.

Пусть прямая а плоскости α перпендикулярна проекции OB наклонной АВ. Тогда она будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым OB и AO. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости АOВ и, следовательно, она будет перпендикулярна наклонной АВ.

5. Закрепление нового материала.

1. Верно ли утверждение: «Если из двух различных точек, не принадлежащих плоскости, проведены к ней две равные наклонные, то их проекции тоже равны»?

Ответ: Нет.

2. К плоскости прямоугольника ABCD в точке пересечения диагоналей восстановлен перпендикуляр. Верно ли утверждение о том, что произвольная точка M этого перпендикуляра равноудалена от вершин прямоугольника? Ответ: Да

3. Точка M равноудалена от всех точек окружности. Верно ли утверждение о том, что она принадлежит перпендикуляру к плоскости окружности, проведённому через её центр?

Ответ: Да

4. Основание ABCD пирамиды SABCD – прямоугольник, AB < BC. Ребро SD перпендикулярно плоскости основания. Среди отрезков SA, SB, SC и SD укажите наименьший и наибольший.

Ответ: SD – наименьший; SB – наибольший.

Задачи:

1) Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите отрезок AC, если AB = 6 см, ÐBAC = 60°.(Ответ 12 см)

2) Отрезки двух наклонных, проведенных из одной точки к плоскости, равны 15 см и 20 см. Проекция одного из этих отрезков равна 16 см. Найдите проекцию другого отрезка.(Ответ 9 см)

3) Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите проекцию отрезка AC, если AC = 37 см, AB = 35 см.(Ответ 12 см)

Решить № 5.42.

6. Историческая справка:

Хоть эта теорема и носит имя Пифагора, она встречается ещё в вавилонских тетрадях, написанных за 1200 лет до Пифагора. О том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 есть прямоугольный, знали за 2000 лет до н.э. египтяне, которые, вероятно, пользовались этим соотношением для построения прямых углов при сооружении зданий. В Китае предложение о квадрате гипотенузы было известно по крайней мере за 500 лет до Пифагора. Известно более 150 доказательств этой теоремы.

7. Самостоятельная работа.

Работа в группах: решить № 5.35-5.40.

8. Итог урока. Геометрическая перестрелка.

1. Какой отрезок называется перпендикуляром?

2. Какой отрезок называется наклонной?

3. Какой отрезок называется проекцией наклонной?

4. Какая точка называется основанием перпендикуляра?

5. Какая точка называется основанием наклонной?

6. Что называется расстоянием от данной точки до плоскости?

7. Как найти расстояние от точки до плоскости?

8. Может ли наклонная быть короче перпендикуляра, проведенного из той же точки?

9. Если наклонные, проведённые из одной точки к плоскости равны, то что можно сказать об их проекциях?

10. Как сформулировать обратное утверждение?

11. Точка А не лежит на плоскости. Сколько наклонных одной длины можно провести из этой точки к данной плоскости?

12. Если точка равноудалена от всех вершин прямоугольника, то во что она проектируется на его плоскость?

9. Домашнее задание. Рефлексия.

– Какое впечатление у Вас сложилось? (Понравилось – не понравилось)

– Какое настроение после урока? (Радостное – грустное)

– Какое самочувствие? (Устал – не устал)

– Какое отношение к пройденному материалу? (Понял – не понял)

– Оцени свою активность на уроке. (Старался – не старался).

Выучить п. 5.3. Решить: № 5.41, 5.43, 5.44, 5.45.