Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины «Математика» для специальностей: 44.02.02. и 44.02.01.

Название предмета

Максимальная нагрузка

Аудиторные занятия

Практические занятия

Самостоятельная работа студентов

Семестр

Контроль

Математика

234

96

60

78

1,2

Э/Э

Наименование разделов и тем

Максимальная учебная нагрузка студента (час)

Количество аудиторных
часов при очной форме
обучения

Самостоятельная работа студента

Всего

(ауд.)

Занятий на уроке

Практические
занятия

Введение

2

2

2

2

Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности. Цели и задачи изучения математики в учреждениях начального и среднего профессионального образования.

2

2

2

2

Раздел 1. Алгебра

58

58

36

22

26

Тема 1.1. Развитие понятия о числе

8

8

4

4

4

1.1.1. Целые и рациональные числа.

2

2

2

2

1.1.2. Действительные числа.

2

2

2

1.1.3. Приближенные вычисления. Действия с приближёнными числами

2

2

2

2

1.1.4. Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

2

2

2

Тема 1.2.
Корни, степени, логарифмы

20

20

14

6

6

1.2.1. Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства.

2

2

2

1.2.2. Степени с рациональными показателями, их свойства. Степени с действительными показателями, их свойства.

2

2

2

2

1.2.3. Преобразование выражений, содержащих радикалы.

2

2

2

1.2.4. Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами.

2

2

2

2

1.2.5. Переход к новому основанию логарифма.

2

2

2

1.2.6. Преобразование алгебраических выражений.

3

3

2

1.2.7. Преобразование рациональных, иррациональных выражений.

3

3

3

2

1.2.8. Преобразование степенных и показательных выражений.

2

2

2

1.2.9. Преобразование логарифмических выражений.

2

2

1

2

Тема 1.3. Основы тригонометрии

16

16

10

6

10

1.3.1. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс, котангенс числа. Основные тригонометрические тождества.

2

2

2

2

1.3.2. Формулы приведения.

2

2

2

1.3.3. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла.

2

2

2

2

1.3.4. Преобразование простейших тригонометрических выражений.

2

2

2

2

1.3.5. Преобразование выражения А sin х+В cos х к виду С sin (х+t)

2

2

2

1.3.6. Обратные тригонометрические функции.

2

2

2

2

1.3.7. Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений.

2

2

2

1.3.8. Простейшие тригонометрические неравенства. Решение тригонометрических неравенств.

2

2

2

2

Тема 1.4.
Функции, их свойства и графики.

14

14

8

6

6

1.4.1. Функции. Область определения и множество значений. График функции. Преобразования графиков функций.

2

2

2

2

1.4.2. Свойства функции: монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность.

2

2

2

1.4.3. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация.

2

2

2

2

1.4.4. Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.

2

2

2

1.4.5. Арифметические операции над функциями. Сложная функция.

2

2

2

1.4.6. Степенная, показательная функции, их свойства и графики

2

2

2

2

1.4.7. Логарифмическая и тригонометрические функции, их свойства и графики.

2

2

2

Раздел 2. Начала математического анализа

30

30

18

12

16

Тема 2.1.
Производная и ее приложения

8

8

4

4

6

2.1.1. Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Предел последовательности. Суммирование последовательностей.

1

1

1

2

2.1.2. Производная. Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции.

1

1

2

2.1.3. Производные суммы, разности, произведения частного. Производные основных элементарных функций.

2

2

1

2

2.1.4. Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

2

2

2

2.1.5. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

2

2

2

2

Тема 2.2. Интеграл и его приложения

8

8

6

2

4

2.2.1. Первообразная..Определение первообразной функции.

2

2

2

2.2.2. Неопределённый интеграл и его свойства.

2

2

2

2

2.2.3. Определённый интеграл. Основные свойства и вычисление определённого интеграла.

2

2

2

2.2.4. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.

2

2

2

2

Тема 2.3. Уравнения и неравенства

14

14

8

6

6

2.3.1. Равносильность уравнений, неравенств, систем.

2

2

2

2.3.2. Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений. Основные приемы их решения.

2

2

2

2

2.3.3. Показательные и тригонометрические уравнения и системы уравнений. Основные приемы их решения.

3

3

1

2

2.3.4. Рациональные и иррациональные неравенства. Основные приемы их решения.

2

2

2

2

2.3.5. Показательные и тригонометрические неравенства. Основные приемы их решения.

2

2

2

2

2.3.6. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

3

3

1

2

Раздел 3. Комбинаторика, статистика и теория вероятностей.

10

10

6

4

6

Тема 3. 1. Элементы комбинаторики

4

4

2

2

2

3.1.1. Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Задачи на перебор вариантов.

2

2

2

2

3.1.2. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник паскаля.

2

2

2

Тема 3. 2. Элементы теории вероятностей

2

2

2

2

3.2.1. Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей.

2

2

2

2

Тема 3. 3.
Элементы математической статистики

4

4

2

2

2

3.3.1. Представление данных (таблицы, диаграммы, графики). Понятие о задачах математической статистики.

2

2

2

2

3.3.2. Решение практических задач с применение вероятностных методов.

2

2

2

Раздел 4. Геометрия

56

56

34

22

28

Тема 4.1.
Прямые и плоскости в пространстве

14

14

10

4

6

4.1.1. Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми.

2

2

2

2

4.1.2. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей.

2

2

2

2

4.1.3. Перпендикулярность прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.

3

3

1

2

4.1.4. Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей.

3

3

1

2

4.1.5. Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.

2

2

2

2

4.1.6. Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур.

2

2

2

2

Тема 4.2. Многогранники

14

14

8

6

6

4.2.1. Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы.

2

2

2

4.2.2. Прямая и наклонная призмы. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

2

2

2

4.2.3.Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр.

2

2

2

2

4.2.4. Решение задач на вычисление площади поверхности призмы, пирамиды.

3

3

2

2

4.2.5. Симметрия в пространстве. Понятие правильного многогранника.

1

1

2

4.2.6. Симметрии в кубе, параллелепипеде, призме и пирамиде.

2

2

2

2

4.2.7. Сечения куба, призмы, пирамиды.

2

2

2

Тема 4.3. Тела и поверхности вращения

8

8

6

2

4

4.3.1. Цилиндр. Площадь боковой и полной поверхностей цилиндра

3

3

3

2

4.3.2. Конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Сечения конуса.

3

3

1

2

4.3.3. Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере. Площади поверхностей сферы и её частей.

2

2

2

2

Тема 4.4. Измерения в геометрии

10

10

4

6

4

4.4.1. Объем и его измерение. Интегральная формула объема.

2

2

2

2

4.4.2. Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра, пирамиды, конуса.

2

2

2

4.4.3. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы

2

2

2

2

4.4.4. Подобие тел. Отношения подобия площадей поверхностей и объемов подобных тел.

2

2

1

2

4.4.5. Вычисление объёмов фигур вращения с помощью определённого интеграла.

2

2

1

2

Тема 4.5. Координаты и векторы

10

10

6

4

6

4.5.1. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками.

2

2

2

2

4.5.2. Уравнения сферы, плоскости и прямой.

2

2

2

2

4.5.3. Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Операции над векторами. Угол между векторами.

2

2

2

4.5.4. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

2

2

2

2

4.5.5. Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

2

2

2

Экзамен

Итого

156

156

96

60

78

Самостоятельная работа №1

Тема «Введение»

1. Сократите дробь ;

2. Решите уравнение

3. Решите неравенство -2х+3(х-2)<5х;

4.Решите систему неравенств .

Самостоятельная работа №1

Тема «Введение»

1. Сократите дробь ;

2. Решите уравнение

3. Решите неравенство 5х+4(х+3)>7х;

4.Решите систему неравенств .

Самостоятельная работа №2

Тема «Целые и рациональные числа»

1. Найдите НОД и НОК чисел 255 и 510;

2. Решите уравнение ;

3. Упростите выражение

4. Вычислить

+

Самостоятельная работа №2

Тема «Целые и рациональные числа»

1.Найдите НОД и НОК чисел 105 и 165;

2. Решите уравнение ;

3. Упростите выражение

4. Вычислить

+

Самостоятельная работа №3

Тема «Приближенные вычисления. Действия с приближёнными числами»

Базовый уровень

Задание 1.

Округлите число до десятых и найдите абсолютную погрешность приближения: а) 45,162; б) 123,6439.
2. Запишите число в стандартном виде: а) 1265,2; б) 0,00000000000879; в) 1200000000000000; г) 78,5. 
3. Найдите приближенное значение разности х и у, если: .
4. Найдите приближенное значение произведения , если 

5. Найдите периметр и площадь прямоугольника, если его стороны 
.

Повышенный уровень

Задание 2.

С какой точностью надо измерить радиус круга, чтобы относительная погрешность площади круга не превышала 0,5%? Грубое приближенное значение R=8м.

Самостоятельная работа №3

Тема «Приближенные вычисления. Действия с приближёнными числами»

Базовый уровень

Задание 1.

Округлите число до сотых и найдите абсолютную погрешность приближения: а) 245,365; б) 3,6449.
2. Запишите число в стандартном виде: а) 31265,2; б) 0,000000000000187; в) 42000000000000000; г) 478,6. 
3. Найдите приближенное значение суммы х и у, если: .
4. Найдите приближенное значение частного , если 

5. Найдите периметр и площадь прямоугольника, если его стороны 
.

Повышенный уровень

Задание 2.

С какой точностью надо измерить сторону квадрата, чтобы относительная погрешность площади квадрата не превышала 1%? Приближенное значение стороны квадрата а=9 м.

Самостоятельная работа №4

Тема «Степень с рациональным и действительным показателями, их свойства»

Базовый уровень

Задание 1.

Вычислить:

Преобразовать выражения так, чтобы они не содержали отрицательных показателей степеней:

;

Задание 2.

Упростите выражения:

Повышенный уровень

Задание 3.

Проверить упрощения и вычисления:

Выполнить действия:

Самостоятельная работа №4

Тема «Степень с рациональным и действительным показателями, их

свойства»

Базовый уровень

Задание 1.

1.Вычислить:

2.Преобразовать выражения так, чтобы они не содержали отрицательных показателей степеней:

;

Задание 2.

Упростите выражения:

Повышенный уровень

Задание 3.

1.Проверить упрощения и вычисления:

2.Выполнить действия:

Самостоятельная работа №5

Тема «Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Правила действия с логарифмами»

Базовый уровень

Задание 1.

При каком основании логарифм

числа 125 равен 1; 3.

Найти логарифмы чисел 2; 4 по

основанию .

Расположить числа в порядке возрастания:

Задание 2.

Вычислить:

Следующие равенства переписать в виде

логарифмических равенств:

Повышенный уровень

Задание 3.

Вычислить:

Известно, что положительные числа х, а, b, с связаны соотношением . Выразить через логарифмы по основанию n чисел а, b, с.

Известно, что и .

Выразить через а и b:

.

Найти значение выражения:

Самостоятельная работа №5

Тема «Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Правила действия с логарифмами»

Базовый уровень

Задание 1.

При каком основании логарифм

числа 125 равен 1; 3.

Найти логарифмы чисел 2; 4 по

основанию .

Расположить числа в порядке возрастания:

Задание 2.

1.Вычислить:

2.Следующие равенства переписать в виде

логарифмических равенств:

Повышенный уровень

Задание 3.

Вычислить:

Известно, что положительные числа х, а, b, с связаны соотношением . Выразить через логарифмы по основанию n чисел а, b, с.

Известно, что и .

Выразить через а и b:

.

Найти значение выражения:

Самостоятельная работа №6

Тема «Преобразование рациональных, иррациональных выражений»

Базовый уровень

Задание 1.

Освободитесь от иррациональности

в знаменателе:

;

Выполните действия:

Задание 2.

Упростить выражения:

Повышенный уровень

Задание 3.

Выполните подстановку и упростите полученное выражение:

Найдите значение выражения:

Самостоятельная работа №6

Тема «Преобразование рациональных, иррациональных выражений»

Базовый уровень

Задание 1.

Освободитесь от иррациональности

в знаменателе:

;

2.Выполните действия:

а.

Задание 2.

Упростить выражения:

Повышенный уровень

Задание 3.

Выполните подстановку и упростите полученное выражение:

Найдите значение выражения:

Самостоятельная работа №7

Тема «Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. Основные тригонометрические тождества»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти на числовой окружности точки, которые соответствуют заданным числам:
; ;

Переведите из градусной меры в радианную меру: 150, 640, 350, 670

Переведите из радианной меры в градусную меру:

Выберите формулу с ошибкой:

Основные тригонометрические тождества:

sin²x+cos²x=1; tg x=sin x /cos x; ctg x=cos x /sin x

tg x×ctg x=1; tg²x+1=1/sin²x; ctg²x+1=1/sin²x

Задание 2.

Вычислить

Упростить выражение:

Повышенный уровень

Задание 3.

Для измерения географической долготы места употребляют особую единицу, называемую часом. Час долготы равен 1/24 части полного угла, на который поворачивается Земля за сутки. Выразить час, минуту и секунду долготы в градусах, минутах, секундах дуги.

Вычислить выражения:

tg 9000; .

Самостоятельная работа №7

Тема «Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. Основные тригонометрические тождества»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти на числовой окружности точки, которые соответствуют заданным числам:
; ;

Переведите из градусной меры в радианную меру: 150, 640, 350, 670

Переведите из радианной меры в градусную меру:

Выберите формулу с ошибкой:

Основные тригонометрические тождества:

sin²x+cos²x=1; tg x=sin x /cos x; ctg x=cos x /sin x

tg x×ctg x=1; tg²x+1=1/sin²x; ctg²x+1=1/sin²x

Задание 2.

Вычислить

Упростить выражение:

Повышенный уровень

Задание 3.

Для измерения географической долготы места употребляют особую единицу, называемую часом. Час долготы равен 1/24 части полного угла, на который поворачивается Земля за сутки. Выразить час, минуту и секунду долготы в градусах, минутах, секундах дуги.

Вычислить выражения:

tg 9000; .

Самостоятельная работа №8

Тема «Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла»

Базовый уровень

Задание 1.

1.Вычислите:

2.Докажите тождества:

Задание 2

Упростите выражения:

Найдите

Повышенный уровень

Задание 3.

В равнобедренном треугольнике синус угла при вершине равен . Найдите синус и косинус угла при основании.

Докажите тождества:

Самостоятельная работа №8

Тема «Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла»

Базовый уровень

Задание 1.

1.Вычислите:

2.Докажите тождества:

Задание 2

1.Упростите выражения:

Найдите

Повышенный уровень

Задание 3.

В равнобедренном треугольнике синус угла при вершине равен . Найдите синус и косинус угла при основании.

Докажите тождества:

Самостоятельная работа №9

Тема «Преобразование простейших тригонометрических выражений»

Базовый уровень

Задание 1.

Найдите значение выражения 5sin²3х – 6, если cos²3х = 0,6;

Найдите tgα, если cosα = 1/ √5 и 0 < α < π/2;

Упростите выражение:

sin(3π/2 – α)· cos(π/2 + α) + sin(2 π –α) + cos(3π/2 + α) + cosα ·sinα.

Задание 2.

Найдите значение выражения (tgα + сtgα)² – 2 при α = -π/4;

Вычислите: (sin75º + sin45º) : sin285º.

Повышенный уровень

Задание 3.

Проанализируйте следующие последовательности, выявите закономерность и продолжите запись:

2 . Вычислите

3. Упростить выражения

Самостоятельная работа №10

Тема «Обратные тригонометрические функции»

Базовый уровень

Задание 1.

Выбрать формулу, соответствующую графику функции.

Задание 2.

Указать для каждой из данных функций область определения и область значений.

Задание 3.

Н айти область определения и область значения функций.

Повышенный уровень

Задание 3.

Построить графики функций.

С амостоятельная работа №10

Тема «Обратные тригонометрические функции»

Базовый уровень

Задание 1.

Выбрать формулу, соответствующую графику функции.

Задание 2.

Указать для каждой из данных функций область определения и область значений.

Задание 3.

Н айти область определения и область значения функций.

Повышенный уровень

Задание 3.

Построить графики функций.

Самостоятельная работа №11

Тема «Простейшие тригонометрические неравенства. Решение тригонометрических неравенств»

Базовый уровень

Задание 1.

1.Решить неравенства с помощью единичной

окружности:

2.Решите неравенства:

Задание 2.

Решить неравенства:

10 (sin 2x sin3x – cos2x cos3x) > sin10x ;

3)

Повышенный уровень

Задание 3.

Решить тригонометрические неравенства:

;

Самостоятельная работа №11

Тема «Простейшие тригонометрические

неравенства. Решение тригонометрических

неравенств»

Базовый уровень

Задание 1.

1.Решить неравенства с помощью единичной

окружности:

2.Решите неравенства:

Задание 2.

Решить неравенства:

1) 10 (sin 2x sin3x – cos2x cos3x) > sin10x ;

3)

Повышенный уровень

Задание 3.

Решить тригонометрические неравенства:

;

Самостоятельная работа №12

Тема «Функции. Область определения и множество значений. График функции. Преобразование графиков функций»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти область определения и множество значений функции с помощью графика

Функция f задана таблицей

Чему равно f(0), f(1), f(4)? Изобразите эту зависимость в виде графика.

Задание 2.

1. Найти область определения функций:

1) у = 2х2 + 8х – 11 2) у = 3) у = 4) у = 5) у =

2.Построить графики функций:

Повышенный уровень

Задание 3.

Построить графики трехчленов

Самостоятельная работа №13

Тема «Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти интервалы монотонности функций:

Найти экстремумы данной функции:

Задание 2.

Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

на отрезке [-1; 2]

на отрезке [0; 4]

Найти интервалы выпуклости графика функции:

Найти точки перегиба графика функции:

Повышенный уровень

Задание 3.

Построить график функции

Прямоугольный участок земли в 64 га нужно окопать вдоль всей границы рвом. Найдите такие размеры участка, чтобы длина рва была наименьшей.

Нужно изготовить коническую воронку с образующей 15 см. Найдите высоту воронки наибольшего объема.

Самостоятельная работа №13

Тема «Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти интервалы монотонности функций:

Найти экстремумы данной функции:

Задание 2.

Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

на отрезке [-1; 2]

на отрезке [0; 4]

Найти интервалы выпуклости графика функции:

Найти точки перегиба графика функции:

Повышенный уровень

Задание 3.

Построить график функции

Прямоугольный участок земли в 64 га нужно окопать вдоль всей границы рвом. Найдите такие размеры участка, чтобы длина рва была наименьшей.

Нужно изготовить коническую воронку с образующей 15 см. Найдите высоту воронки наибольшего объема.

Самостоятельная работа №14

Тема «Степенная, показательная функции, их свойства и графики»

Базовый уровень

Задание 1.

Постройте график функции и найдите:

Множество значений х, на котором значения функции отрицательны;

Множество значений х, на котором функция убывает;

Наибольшее и наименьшее значение функции.

Построить схематически графики функций:

Задание 2.

Найдите значение аргумента x, при котором функция принимает значение, равное .

Решите графически уравнение:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Повышенный уровень

Задание 3.

Известно, что количество радиоактивного вещества за сутки уменьшается в 2 раза. Определите:

Сколько радиоактивного вещества останется через 2, 3, 5 суток, если первоначальное количество было равно 350 г.;

Через сколько суток количество радиоактивного вещества уменьшится в 256 раз.

При каких значениях параметра a наименьшее на промежутке значение квадратного трехчлена равно 3?

Самостоятельная работа №14

Тема «Степенная, показательная функции, их свойства и графики»

Базовый уровень

Задание 1.

Постройте график функции и найдите:

Множество значений х, на котором значения функции отрицательны;

Множество значений х, на котором функция убывает;

Наибольшее и наименьшее значение функции.

Построить схематически графики функций:

Задание 2.

Найдите значение аргумента x, при котором функция принимает значение, равное .

Решите графически уравнение:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Повышенный уровень

Задание 3.

Известно, что количество радиоактивного вещества за сутки уменьшается в 2 раза. Определите:

Сколько радиоактивного вещества останется через 2, 3, 5 суток, если первоначальное количество было равно 350 г.;

Через сколько суток количество радиоактивного вещества уменьшится в 256 раз.

При каких значениях параметра a наименьшее на промежутке значение квадратного трехчлена равно 3?

Самостоятельная работа №15

Тема «Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Предел последовательности. Суммирование последовательностей»

Базовый уровень

Задание 1.

Написать четыре первых члена числовой последовательности с общим членом:

а n = n; а n = 2n-1; а n = n2 ;

Найти формулу общего члена для каждой из данных числовых последовательностей:

1,2,3,4,5,..,…

2,4,6,8,10, …,…

2,-2,2,-2,2,…,…

Вычислить сумму чисел

, где n= 1,2, …,10.

Задание 2.

Какие из данных числовых последовательностей являются возрастающими, какие убывающими и какие колеблющимися:

1,4,9,16,25,…, n2

Общий член бесконечной числовой последовательности выражается формулой .

Вычислить первые пять членов этой последовательности;

Дать геометрическое изображение их на числовой оси;

Показать, что данная последовательность неограниченно возрастает;

Найти порядковый номер того члена данной последовательности, начиная с которого все члены последовательностей будут больше 1000; 10000.

Повышенный уровень

Задание 3.

Найти пределы бесконечных числовых последовательностей:

Самостоятельная работа №15

Тема «Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Предел последовательности. Суммирование последовательностей»

Базовый уровень

Задание 1.

Написать четыре первых члена числовой последовательности с общим членом:

а n = n; а n = 2n-1; а n = n2 ;

Найти формулу общего члена для каждой из данных числовых последовательностей:

1,2,3,4,5,..,…

2,4,6,8,10, …,…

2,-2,2,-2,2,…,…

Вычислить сумму чисел

, где n= 1,2, …,10.

Задание 2.

Какие из данных числовых последовательностей являются возрастающими, какие убывающими и какие колеблющимися:

1,4,9,16,25,…, n2

Общий член бесконечной числовой последовательности выражается формулой .

Вычислить первые пять членов этой последовательности;

Дать геометрическое изображение их на числовой оси;

Показать, что данная последовательность неограниченно возрастает;

Найти порядковый номер того члена данной последовательности, начиная с которого все члены последовательностей будут больше 1000; 10000.

Повышенный уровень

Задание 3.

Найти пределы бесконечных числовых последовательностей:

Самостоятельная работа №16

Тема «Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти производные следующих функций:

Задание 2.

Найти значение функции в точке x=2;

Найти , если ;

Повышенный уровень

Задание 3.

Найти производные следующих функций:

Самостоятельная работа №16

Тема «Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти производные следующих функций:

Задание 2.

Найти значение функции в точке x=2;

Найти , если ;

Повышенный уровень

Задание 3.

Найти производные следующих функций:

Самостоятельная работа №4

Тема «Вторая производная, её геометрический и физический смысл. Применение производной к исследованию функций и построению графиков»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти производные второго порядка заданных функций:

Найти экстремумы функции

Задание 2.

Материальная точка движется по закону . Найти ее ускорение в конце 3 секунды.

В момент времени t тело находится на расстоянии от места отправления. Найти его ускорение через 2 ч.

Выяснить, выпукла или вогнута линия в окрестностях точек (1,11) и (3,3)

Найти точки перегиба линии ,

Повышенный уровень

Задание 3.

Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется формулой s(t)=30t-16t2, где s(t) – путь в метрах, t – время торможения в секундах. В течение какого времени осуществляется торможение до полной остановки машины? Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки?

Доказать, что функция удовлетворяет соотношению .

Найти число, которое, будучи сложено со своим квадратом, дает наименьшую сумму.

Самостоятельная работа №4

Тема «Вторая производная, её геометрический и физический смысл. Применение производной к исследованию функций и построению графиков»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти производные второго порядка заданных функций:

Найти экстремумы функции

Задание 2.

Материальная точка движется по закону . Найти ее ускорение в конце 3 секунды.

В момент времени t тело находится на расстоянии от места отправления. Найти его ускорение через 2 ч.

Выяснить, выпукла или вогнута линия в окрестностях точек (1,11) и (3,3)

Найти точки перегиба линии ,

Повышенный уровень

Задание 3.

Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется формулой s(t)=30t-16t2, где s(t) – путь в метрах, t – время торможения в секундах. В течение какого времени осуществляется торможение до полной остановки машины? Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки?

Доказать, что функция удовлетворяет соотношению .

Найти число, которое, будучи сложено со своим квадратом, дает наименьшую сумму.

Самостоятельная работа №2

Тема «Первообразная и интеграл»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти дифференциалы первого и второго порядков следующих функций:

Найти интегралы:

Задание 2.

Найти интегралы методом подстановки:

Повышенный уровень

Задание 3.

Шар радиусом 20 см был нагрет, отчего радиус его удлинился на 0,01 см. На сколько увеличился объем шара?

Найти интегралы (интегрирование по частям):

Найти интегралы (замена переменной):

При нагревании радиус круга увеличился с 40 см до 40,1 см. Найдите приближенное приращение площади круга.

Самостоятельная работа №2

Тема «Первообразная и интеграл»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти дифференциалы первого и второго порядков следующих функций:

Найти интегралы:

Задание 2.

Найти интегралы методом подстановки:

Повышенный уровень

Задание 3.

Шар радиусом 20 см был нагрет, отчего радиус его удлинился на 0,01 см. На сколько увеличился объем шара?

Найти интегралы (интегрирование по частям):

Найти интегралы (замена переменной):

При нагревании радиус круга увеличился с 40 см до 40,1 см. Найдите приближенное приращение площади круга.

Самостоятельная работа №3

Тема «Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница»

Базовый уровень

Задание 1.

Вычислить определенные интегралы:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x, x=1, x=2, y=0;

Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат и прямой y=2x+4.

Задание 2.

Вычислить определенные интегралы:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Повышенный уровень

Задание 3.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и двумя касательными, проведенными к нему из точки на оси y так, что угол между касательными равен 600.

Самостоятельная работа №3

Тема «Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница»

Базовый уровень

Задание 1.

Вычислить определенные интегралы:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x, x=1, x=2, y=0;

Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат и прямой y=2x+4.

Задание 2.

Вычислить определенные интегралы:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Повышенный уровень

Задание 3.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и двумя касательными, проведенными к нему из точки на оси y так, что угол между касательными равен 600.

Самостоятельная работа №4

Тема «Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений. Основные приёмы их решения»

Базовый уровень

Задание 1.

Решить уравнения:

Найти области определения уравнений:

Задание 2.

Решить уравнения:

Решить систему уравнений методом подстановки:

Решить систему уравнений методом введения новых переменных:

Повышенный уровень

Задание 3.

Решить задачу:

Расстояние между городами А и В по железной дороге 100 км, а по водному пути – 120 км. Из города а поезд выходит на 3 ч 30 мин позже и прибывает в город В на 30 мин раньше теплохода. Найдите средние скорости поезда и теплохода, если скорость теплохода на 30 км/ч меньше скорости поезда.

Самостоятельная работа №4

Тема «Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений. Основные приёмы их решения»

Базовый уровень

Задание 1.

Решить уравнения:

Найти области определения уравнений:

Задание 2.

Решить уравнения:

Решить систему уравнений методом подстановки:

Решить систему уравнений методом введения новых переменных:

Повышенный уровень

Задание 3.

Решить задачу:

Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Самостоятельная работа №5

Тема «Рациональные и иррациональные неравенства. Основные приёмы их решения»

Базовый уровень

Задание 1.

Решить неравенства:

Задание 2.

Решить неравенства:

Повышенный уровень

Задание 3.

Решить графически неравенства:

Решить неравенства:

Самостоятельная работа №5

Тема «Рациональные и иррациональные неравенства. Основные приёмы их решения»

Базовый уровень

Задание 1.

Решить неравенства:

Задание 2.

Решить неравенства:

Повышенный уровень

Задание 3.

Решить графически неравенства:

Решить неравенства:

Самостоятельная работа №6

Тема «Показательные и тригонометрические неравенства. Основные приёмы их решения»

Базовый уровень

Задание 1.

Решить неравенства:

Задание 2.

Решить неравенства:

Повышенный уровень

Задание 3.

Решить графически неравенство:

Решить неравенства:

Самостоятельная работа №6

Тема «Показательные и тригонометрические неравенства. Основные приёмы их решения»

Базовый уровень

Задание 1.

Решить неравенства:

Задание 2.

Решить неравенства:

Повышенный уровень

Задание 3.

Решить графически неравенство:

Решить неравенства:

Самостоятельная работа №7

Тема «Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчёт числа размещений, перестановок, сочетаний. Задачи на перебор вариантов»

Базовый уровень

Задание 1.

Вычислить:

3! 7!-5!

Вычислить:

Задание 2.

Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

Сколькими способами можно выбрать трех дежурных, если в классе 30 учащихся?

Найти x, если известно, что

Повышенный уровень

Задание 3.

Сколько необходимо взять предметов, чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз больше числа размещений по 2?

Решить уравнения:

Решить системы уравнений:

Самостоятельная работа №7

Тема «Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчёт числа размещений, перестановок, сочетаний. Задачи на перебор вариантов»

Базовый уровень

Задание 1.

Вычислить:

3! 7!-5!

Вычислить:

Задание 2.

Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

Сколькими способами можно выбрать трех дежурных, если в классе 30 учащихся?

Найти x, если известно, что

Повышенный уровень

Задание 3.

Сколько необходимо взять предметов, чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз больше числа размещений по 2?

Решить уравнения:

Решить системы уравнений:

Самостоятельная работа №8

Тема «Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей»

Базовый уровень

Задание 1.

Бросают игральную кость. Найти вероятность того, что а) выпадет четное число очков; б) выпадет число очков, кратное трем; в) выпадет любое число очков, кратное пяти.

В корзине 5 белых и 7 черных перчаток. Найти вероятность того, что пара, которую достали наугад, окажется одноцветной.

В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Задание 2.

Имеется 3 ящика, содержащие по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

В урне 5 белых, 4 черных, 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появиться белый шар, при втором — черный и при третьем — синий.

Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий равны 0,7 и 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе хотя бы одним орудием.

Повышенный уровень

Задание 3.

Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контроллеров Вероятность того, что деталь попадет к первому контроллеру, равна 0,6, а ко второму - 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контроллером 0,94, а вторым 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контроллер.

Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания цель первым, вторым и третьим орудиями равны: 0,4, 0,3 и 0,5.

Самостоятельная работа №8

Тема «Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей»

Базовый уровень

Задание 1.

Выбирают наугад число от 1 до 100. Определить вероятность того, что в этом числе не окажется цифры 3.

В корзине 5 белых и 7 черных перчаток. Найти вероятность того, что пара, которую достали наугад, окажется одноцветной.

В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Задание 2.

Имеется 3 ящика, содержащие по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

В мешочке имеется 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному три кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекаются: а) без возвращения; б) с возвращением.

Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий равны 0,7 и 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе хотя бы одним орудием.

Повышенный уровень

Задание 3.

В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных, во второй коробке 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания цель первым, вторым и третьим орудиями равны: 0,4, 0,3 и 0,5.

Самостоятельная работа №10

Т ема «Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол

между прямыми»

Базовый уровень

Задание 1.

Задание 2.

Точка М не принадлежит плоскости треугольника АВС. Каково взаимное расположение прямых МА и ВС? Ответ обоснуйте.

Повышенный уровень

Задание 3.

Прямые а, b и с имеют общую точку. Верно ли, что данные прямые лежат в одной плоскости? Ответ объясните.

Самостоятельная работа №11

Тема «Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей»

Базовый уровень

Задание 1.

На рисунке 1 точки М, Н и Р – середины соответственно отрезковAD, DВ, AС, PK || MH. Найдите периметр четырех угольника МНРК, если АВ = 8 см, СD = 10 см.

З адание 2.

Некоторая плоскость  пересекает боковые стороны АВ и CDтрапеции АВСD в точках М и К соответственно. Докажите, что AD || , если М и К – середины боковых сторон трапеции.

Повышенный уровень

Задание 3.

Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и СD, АС и ВD, АD и ВС, пересекаются в одной точке.

Самостоятельная работа №11

Тема «Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей»

Базовый уровень

Задание 1.

На рисунке 1 точка А – середина отрезка PK, АВ || СD, ВC || AD, ВC || PM, CD || HK. Найдите PM и НК, если СD = 16 дм, ВC = 8 дм.

Задание 2.

Плоскость  пересекает с тороны ВА и ВC треугольника АВС в точках Н и К соответственно. Докажите, что AС || , если Н и К – середины сторон АВ и ВС.

Повышенный уровень

Задание 3.

Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любые две из трех прямых, соединяющие середины отрезков АВ и СD, АС и ВD, АD и ВС, лежат в одной плоскости.

Самостоятельная работа №12

Тема «Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости»

Базовый уровень

Задание 1.

Для двух точек пространства найдите точку, относительно которой они центрально симметричны.
Задание 2.

Постройте прямую, зеркально-симметричную данной прямой относительно данной плоскости a. Рассмотрите различные случаи.
Задание 3.

Найдите движения, которые переводят вершину A куба A…D1 в вершину C1.

Повышенный уровень

Задание 4.

Докажите, что при осевой симметрии плоскость, перпендикулярная оси, переходит в себя.
Задание 4.

Каким движением является композиция (последовательное выполнение) двух осевых симметрий с параллельными осями?

Самостоятельная работа №12

Тема «Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости»

Базовый уровень

Задание 1.

Для двух точек пространства найдите прямую, относительно которой они симметричны.
Задание 2.

Постройте плоскость, центрально-симметричную данной плоскости относительно точки O. Рассмотрите различные случаи.
Задание 3.

Найдите движения, которые переводят вершину B1 куба A…D1 в вершину D.

Повышенный уровень

Задание 4.

Докажите, что при осевой симметрии прямые, перпендикулярные оси, переходят в прямые, также перпендикулярные оси.
Задание 4.

Каким движением является композиция (последовательное выполнение) двух центральных симметрий?

Самостоятельная работа №13

Тема «Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур»

Базовый уровень

Задание 1.

Изобразите правильную четырехугольную пирамиду и ее высоту.
Задание 2.

Изобразите куб, две грани которого параллельны плоскости проектирования.
Задание 3.

Н а рисунке изображена параллельная проекция куба A…D1. Как расположен куб относительно плоскости проектирования?

Повышенный уровень

Задание 4.

Дан тетраэдр ABCD. Площадь его грани ADC равна S. Найдите площадь проекции его грани BDC на плоскость ADC в направлении прямой AB.
Задание 5.

Изобразите параллельную проекцию равностороннего треугольника ABC и постройте на ней изображение перпендикуляра, опущенного из точки K – середины отрезка BO (O – центр треугольника) на сторону AB.

Самостоятельная работа №13

Тема «Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур»

Базовый уровень

Задание 1.

Изобразите правильную треугольную пирамиду и ее высоту.
Задание 2.

И зобразите куб, грани которого не параллельны плоскости проектирования.
Задание 3.

На рисунке изображена параллельная проекция куба A…D1. Как расположен куб относительно плоскости проектирования?

Повышенный уровень

Задание 4.

Дан тетраэдр ABCD. Площадь его грани ABD равна Q. Найдите площадь проекции его грани BDC на плоскость ADB в направлении прямой CM, где M – середина ребра AB.
Задание 5.

Изобразите параллельную проекцию прямоугольника ABCD, у которого AD = 2AB. Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из вершины C на диагональ BD.

Самостоятельная работа №15

Тема «Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр»

Базовый уровень

Задание 1.

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите объем пирамиды.

Задание 2.

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3 см, а прилежащий к нему острый угол равен 300. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 600. Найдите объем пирамиды.
Повышенный уровень

Задание 3.

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SAD и SBC.

Самостоятельная работа №15

Тема «Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр»

Базовый уровень

Задание 1.

Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной, равной 1. Две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья образует с основанием угол 600. Найдите объем пирамиды.
Задание 2.

Боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, наклонены к плоскости основания под углом 300. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите объем пирамиды.
Повышенный уровень

Задание 3.

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SBC и ABC.

Самостоятельная работа №15

Тема «Вычисление площади поверхности призмы, пирамиды»

Базовый уровень

Задание 1.

Н айдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 1 см.

Задание 2.

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5 см, а высота 10 см.

Повышенный уровень

Задание 3.

Н айдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см и боковым ребром 10 см.

Самостоятельная работа №15

Тема «Вычисление площади поверхности призмы, пирамиды»

Базовый уровень

Задание 1.

Н айдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см и высота 4 см.

Задание 2.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь поверхности данной призмы.

Повышенный уровень

Задание 3.

Ч ему равна площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1?

Самостоятельная работа №16

Тема «Симметрии в кубе, параллелепипеде, призме и пирамиде»

Базовый уровень

Задание 1.

Основание прямой призмы – ромб со стороной 5 см и тупым углом 120. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240 см2. Найти площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

Задание 2.

Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см. Высота пирамиды равна 16 см и проходит через вершину прямого угла. Найти площадь сечения пирамиды, проходящего через её высоту перпендикулярно к гипотенузе основания.

Повышенный уровень

Задание 3.

Ребро куба АВСДА1В1С1Д1 равно а. Постройте сечение куба, проходящее через точку А1 и середины ребер СД и АД, и найдите его площадь.

Самостоятельная работа №16

Тема «Симметрии в кубе, параллелепипеде, призме и пирамиде»

Базовый уровень

Задание 1.

Основание прямой призмы – ромб острым углом 60. Боковое ребро призмы равно 10 см, а боковая площадь боковой поверхности 240 см2. Найти площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

Задание 2.

Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота пирамиды равна 12 см и проходит через середину гипотенузы основания. Найти площадь сечения пирамиды, проходящего через её высоту и вершину прямого угла основания.

Повышенный уровень

Задание 3.

Ребро куба АВСДА1В1С1Д1 равно а. Постройте сечение куба, проходящее через точку В1 и середины ребер АД и АВ, и найдите его площадь.

Самостоятельная работа №17

Тема «Площадь боковой и полной поверхностей цилиндра»

Базовый уровень

Задание 1.

Р адиус основания цилиндра равен 2 м, высота - 3 м. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.

Повышенный уровень

Задание 2.

П лощадь осевого сечения цилиндра равна 4 м2. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.

Самостоятельная работа №17

Тема «Площадь боковой и полной поверхностей цилиндра»

Базовый уровень

Задание 1.

О севое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания равна 1. Найдите площадь поверхности и объем цилиндра.

Повышенный уровень

Задание 2.

П лощадь осевого сечения цилиндра равна 9 м2. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.

Самостоятельная работа №18

Тема «Шар и сфера»

Базовый уровень

Задание 1.

Сфера проходит через точку с координатами (-3;4;-2), а её центр находится в начале координат. Составьте уравнение сферы.

Высота правильной шестиугольной призмы составляет 8 см, а диагональ боковой грани – 13 см. Найти радиус описанного шара.

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4, 6 и 12. Найти радиус описанной сферы.

Задание 2.

Радиус шара равен 63 см. Точка находится на касательной плоскости на расстоянии 16 см от точки касания. Найти расстояние от неё до поверхности шара.

Найти центр и радиус R сферы

х2-6х+у2+8у+z2-4z+4=0

Ребро куба равно а. Найти радиусы вписанного в куб и описанного около него шара.

Повышенный уровень

Задание 3.

Из деревянного цилиндра, в котором высота равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Определить, сколько процентов материала сточено.

Внутренний диаметр чугунного полога шара равен 8 см, а внешний – 10 см. Вычислить массу шара. Плотность чугуна равна 7,3 г/см3.

Самостоятельная работа №18

Тема «Шар и сфера»

Базовый уровень

Задание 1.

Сфера проходит через точку с координатами (-3;4;-2), а её центр находится в начале координат. Составьте уравнение сферы.

Высота правильной шестиугольной призмы составляет 8 см, а диагональ боковой грани – 13 см. Найти радиус описанного шара.

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4, 6 и 12. Найти радиус описанной сферы.

Задание 2.

Радиус шара равен 63 см. Точка находится на касательной плоскости на расстоянии 16 см от точки касания. Найти расстояние от неё до поверхности шара.

Найти центр и радиус R сферы

х2-6х+у2+8у+z2-4z+4=0

Ребро куба равно а. Найти радиусы вписанного в куб и описанного около него шара.

Повышенный уровень

Задание 3.

Из деревянного цилиндра, в котором высота равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Определить, сколько процентов материала сточено.

Внутренний диаметр чугунного полога шара равен 8 см, а внешний – 10 см. Вычислить массу шара. Плотность чугуна равна 7,3 г/см3.

Самостоятельная работа №20

Тема «Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы»

Базовый уровень

Задание 1.

Образующая конуса равна 4 дм, а угол при вершине осевого сечения равен 90о. Вычислите площадь боковой поверхности и объем конуса.

З адание 2.

Радиус шарового сектора R, угол в осевом сечении 1200. Найдите объем шарового сектора.

Задание 3.

В шаре проведена плоскость, перпендикулярная диаметру и делящая его на части, равные 3 см и 9 см. Найдите объемы частей шара.

Повышенный уровень

Задание 4.

Найдите отношение объема шара к объему вписанного в него куба.

Задание 5.

Найдите отношение объема шара к объему описанного около него октаэдра.

Самостоятельная работа №20

Тема «Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы»

Базовый уровень

Задание 1.

Р адиус основания конуса равен 3 м, высота - 4 м. Найдите площадь поверхности и объем конуса.

Задание 2.

Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара 75 см.

Задание 3.

В шаре радиуса 13 см проведены по разные стороны от центра два равных параллельных сечения радиуса 5 см. Найдите объем полученного шарового слоя.
Повышенный уровень

Задание 4.

Найдите отношение объема шара к объему вписанного в него октаэдра.

Задание 5.

Найдите отношение объема шара к объему описанного около него куба.