12+  Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 - 70917
Лицензия на образовательную деятельность №0001058		 Пользовательское соглашение     Контактная и правовая информация
 
Педагогическое сообщество
УРОК.РФУРОК
  
Всё для аттестацииПубликация в сборникеВебинарыЛэпбукиПрофтестыЗаказ рецензийТренды образования
Материал опубликовала
Тимченко Галина Владимировна75
Россия, Новосибирская обл., Новосибирск
3
#ФГОС #Планы #Календарно-тематический план #Учитель-предметник #Студент-практикант #Среднее профессиональное образование

Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины Математика для специальностей: 44.02.02. Преподавание в начальных классах и 44.02.01. Дошкольное образование рамках реализации ФГОС среднего (полного) общего образования в пределах основной профессиональной образовательной программы СПО

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов составлено в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины Математика для специальностей: 44.02.02. Преподавание в начальных классах (базовой подготовки) и 44.02.01. Дошкольное образование (базовая подготовка) в рамках реализации ФГОС среднего (полного) общего образования в пределах основной профессиональной образовательной программы среднего профессионального образования.

Согласно Федеральному государственному образовательному стандарту программа по курсу Математика в условиях педагогического колледжа включает следующие разделы: 1. Алгебра, раздел 2. Начала математического анализа, раздел 3. Комбинаторика, статистика и теория вероятностей, раздел 4. Геометрия.

Объем курса в часах:

Название предмета

Максимальная нагрузка

Аудиторные занятия

Практические занятия

Самостоятельная работа студентов

Семестр

Контроль

Математика

234

96

60

78

1,2

Э/Э


В процессе самостоятельной работы студенту предлагается:

работать над самообразованием;

уметь использовать полученные знания при выполнении заданий и находить необходимую информацию;

систематизировать и обобщать полученные знания.


Задания для самостоятельной работы студентов по математике включают в себя элементы рефлексии, индивидуальной деятельности.

В соответствии с положениями Государственного стандарта по названной дисциплине студент

- должен иметь представления о сущности, методах и средствах сбора, обработки, хранения, передачи и накопления информации, реализуемых на ЭВМ;

- должен знать основные этапы решения задач с помощью ЭВМ;

- должен уметь использовать базовые понятия информатики и информационные технологии при решении задач в сфере учебной деятельности.

Цель самостоятельной работы студентов заключается в углублении знаний, приобретенных в процессе теоретических занятий, и содействие выработке навыков профессиональной деятельности.

В соответствии с положениями ФГОС СПО в результате выполнения самостоятельной работы по названной дисциплине студент должен уметь:

выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы;

находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная);

сравнивать числовые выражения;

пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах;

находить значение корня, степени, логарифма;

выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов;

выполнять преобразования тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства;

выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами тригонометрических функций;

вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;

определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;

строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;

находить производные элементарных функций;

использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;

применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;

вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

решать рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным, а также аналогичные неравенства и системы;

использовать графический метод решения уравнений и неравенств;

изображать на координатной плоскости решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными;

составлять и решать уравнения и неравенства, связывающие неизвестные величины в текстовых (в том числе прикладных) задачах.

решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;

вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;

описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;

анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;

изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;

строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;

решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

для практических расчетов по формулам, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;

для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;

для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;

для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков;

решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения;

для построения и исследования простейших математических моделей;

для анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;

для анализа информации статистического характера;

для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;

для вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


Наименование разделов и тем


Максимальная учебная нагрузка студента (час)

Количество аудиторных
часов при очной форме
обучения

Самостоятельная работа студента

Всего

(ауд.)

Занятий на уроке

Практические
занятия

Введение

2

2

2


2

Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности. Цели и задачи изучения математики в учреждениях начального и среднего профессионального образования.

2

2

2


2

Раздел 1. Алгебра

58

58

36

22

26

Тема 1.1. Развитие понятия о числе

8

8

4

4

4

1.1.1. Целые и рациональные числа.

2

2

2


2

1.1.2. Действительные числа.

2

2


2


1.1.3. Приближенные вычисления. Действия с приближёнными числами

2

2

2


2

1.1.4. Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

2

2


2


Тема 1.2.
Корни, степени, логарифмы

20

20

14

6

6

1.2.1. Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства.

2

2

2



1.2.2. Степени с рациональными показателями, их свойства. Степени с действительными показателями, их свойства.

2

2

2


2

1.2.3. Преобразование выражений, содержащих радикалы.

2

2


2


1.2.4. Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами.

2

2

2


2

1.2.5. Переход к новому основанию логарифма.

2

2

2



1.2.6. Преобразование алгебраических выражений.

3

3


2


1.2.7. Преобразование рациональных, иррациональных выражений.

3

3

3


2

1.2.8. Преобразование степенных и показательных выражений.

2

2

2



1.2.9. Преобразование логарифмических выражений.

2

2

1

2


Тема 1.3. Основы тригонометрии

16

16

10

6

10

1.3.1. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс, котангенс числа. Основные тригонометрические тождества.

2

2

2


2

1.3.2. Формулы приведения.

2

2


2


1.3.3. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла.

2

2

2


2

1.3.4. Преобразование простейших тригонометрических выражений.

2

2

2


2

1.3.5. Преобразование выражения А sin х+В cos х к виду С sin (х+t)

2

2


2


1.3.6. Обратные тригонометрические функции.

2

2

2


2

1.3.7. Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений.

2

2


2


1.3.8. Простейшие тригонометрические неравенства. Решение тригонометрических неравенств.

2

2

2


2

Тема 1.4.
Функции, их свойства и графики.

14

14

8

6

6

1.4.1. Функции. Область определения и множество значений. График функции. Преобразования графиков функций.

2

2

2


2

1.4.2. Свойства функции: монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность.

2

2


2


1.4.3. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация.

2

2

2


2

1.4.4. Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.

2

2


2


1.4.5. Арифметические операции над функциями. Сложная функция.

2

2

2



1.4.6. Степенная, показательная функции, их свойства и графики

2

2

2


2

1.4.7. Логарифмическая и тригонометрические функции, их свойства и графики.

2

2


2


Раздел 2. Начала математического анализа

30

30

18

12

16

Тема 2.1.
Производная и ее приложения

8

8

4

4

6

2.1.1. Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Предел последовательности. Суммирование последовательностей.

1

1

1


2

2.1.2. Производная. Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции.

1

1


2


2.1.3. Производные суммы, разности, произведения частного. Производные основных элементарных функций.

2

2

1


2

2.1.4. Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

2

2


2


2.1.5. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

2

2

2


2

Тема 2.2. Интеграл и его приложения

8

8

6

2

4

2.2.1. Первообразная..Определение первообразной функции.

2

2


2


2.2.2. Неопределённый интеграл и его свойства.

2

2

2


2

2.2.3. Определённый интеграл. Основные свойства и вычисление определённого интеграла.

2

2

2



2.2.4. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.

2

2

2


2

Тема 2.3. Уравнения и неравенства

14

14

8

6

6

2.3.1. Равносильность уравнений, неравенств, систем.

2

2


2


2.3.2. Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений. Основные приемы их решения.

2

2

2


2

2.3.3. Показательные и тригонометрические уравнения и системы уравнений. Основные приемы их решения.

3

3

1

2


2.3.4. Рациональные и иррациональные неравенства. Основные приемы их решения.

2

2

2


2

2.3.5. Показательные и тригонометрические неравенства. Основные приемы их решения.

2

2

2


2

2.3.6. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

3

3

1

2


Раздел 3. Комбинаторика, статистика и теория вероятностей.

10

10

6

4

6

Тема 3. 1. Элементы комбинаторики

4

4

2

2

2

3.1.1. Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Задачи на перебор вариантов.

2

2

2


2

3.1.2. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник паскаля.

2

2


2


Тема 3. 2. Элементы теории вероятностей

2

2

2


2

3.2.1. Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей.

2

2

2


2

Тема 3. 3.
Элементы математической статистики

4

4

2

2

2

3.3.1. Представление данных (таблицы, диаграммы, графики). Понятие о задачах математической статистики.

2

2

2


2

3.3.2. Решение практических задач с применение вероятностных методов.

2

2


2


Раздел 4. Геометрия

56

56

34

22

28

Тема 4.1.
Прямые и плоскости в пространстве

14

14

10

4

6

4.1.1. Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми.

2

2

2


2

4.1.2. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей.

2

2

2


2

4.1.3. Перпендикулярность прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.

3

3

1

2


4.1.4. Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей.

3

3

1

2


4.1.5. Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.

2

2

2


2

4.1.6. Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур.

2

2

2


2

Тема 4.2. Многогранники

14

14

8

6

6

4.2.1. Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы.

2

2

2



4.2.2. Прямая и наклонная призмы. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

2

2


2


4.2.3.Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр.

2

2

2


2

4.2.4. Решение задач на вычисление площади поверхности призмы, пирамиды.

3

3

2


2

4.2.5. Симметрия в пространстве. Понятие правильного многогранника.

1

1


2


4.2.6. Симметрии в кубе, параллелепипеде, призме и пирамиде.

2

2

2


2

4.2.7. Сечения куба, призмы, пирамиды.

2

2


2


Тема 4.3. Тела и поверхности вращения

8

8

6

2

4

4.3.1. Цилиндр. Площадь боковой и полной поверхностей цилиндра

3

3

3


2

4.3.2. Конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Сечения конуса.

3

3

1

2


4.3.3. Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере. Площади поверхностей сферы и её частей.

2

2

2


2

Тема 4.4. Измерения в геометрии

10

10

4

6

4

4.4.1. Объем и его измерение. Интегральная формула объема.

2

2

2


2

4.4.2. Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра, пирамиды, конуса.

2

2


2


4.4.3. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы

2

2

2


2

4.4.4. Подобие тел. Отношения подобия площадей поверхностей и объемов подобных тел.

2

2

1

2


4.4.5. Вычисление объёмов фигур вращения с помощью определённого интеграла.

2

2

1

2


Тема 4.5. Координаты и векторы

10

10

6

4

6

4.5.1. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками.

2

2

2


2

4.5.2. Уравнения сферы, плоскости и прямой.

2

2

2


2

4.5.3. Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Операции над векторами. Угол между векторами.

2

2


2


4.5.4. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

2

2

2


2

4.5.5. Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

2

2


2


Экзамен






Итого

156

156

96

60

78




1 семестр

Тема. Введение (2 ч)

Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности. Цели и задачи изучения математики в учреждениях начального и среднего профессионального образования (2 ч).

Цель: проверить уровень овладения школьным материалом.

Самостоятельная работа №1

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

Применять формулы сокращённого умножения;

Решать дробно-рациональные уравнения;

Решать линейные неравенства;

Решать системы линейных неравенств.

Самостоятельная работа №1

Тема «Введение»

1. Сократите дробь t1598235042aa.gif;

2. Решите уравнениеt1598235042ab.gif

3. Решите неравенство -2х+3(х-2)<5х;

4.Решите систему неравенств t1598235042ac.gif.

Самостоятельная работа №1

Тема «Введение»

1. Сократите дробь t1598235042ad.gif;

2. Решите уравнениеt1598235042ae.gif

3. Решите неравенство 5х+4(х+3)>7х;


4.Решите систему неравенств t1598235042af.gif.


Раздел 1. Алгебра (58 ч).

Тема 1.1. Развитие понятия о числе (8 ч)

1.1.1. Целые и рациональные числа (2 ч)

Цель: закрепление умения работать с целыми, рациональными и действительными числами.

Самостоятельная работа №2

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

Раскладывать числа на простые множители;

Переводить смешанные дроби в неправильные и наоборот;

Переводить десятичные дроби в обыкновенные и наоборот;

Решать уравнения с модулем;

Упрощать выражения;

Приводить дроби к общему знаменателю.

Самостоятельная работа №2

Тема «Целые и рациональные числа»


1. Найдите НОД и НОК чисел 255 и 510;


2. Решите уравнение t1598235042ag.gif;


3. Упростите выражение t1598235042ah.gif

4. Вычислить

t1598235042ai.gif + t1598235042aj.gif

Самостоятельная работа №2

Тема «Целые и рациональные числа»


1.Найдите НОД и НОК чисел 105 и 165;


2. Решите уравнение t1598235042ak.gif;


3. Упростите выражение t1598235042al.gif

4. Вычислить

t1598235042ai.gif + t1598235042aj.gif


1.1.3. Приближенные вычисления. Действия с приближёнными числами (2 ч)

Цель: закрепление умения работать с приближёнными числами.

Самостоятельная работа №3

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо: выполняя вычисления, всегда необходимо помнить о той точности, которую нужно или которую можно получить.


Самостоятельная работа №3

Тема «Приближенные вычисления. Действия с приближёнными числами»

Базовый уровень

Задание 1.

Округлите число до десятых и найдите абсолютную погрешность приближения: а) 45,162; б) 123,6439.
2. Запишите число в стандартном виде: а) 1265,2; б) 0,00000000000879; в) 1200000000000000; г) 78,5. 
3. Найдите приближенное значение разности х и у, если: t1598235042am.png.
4. Найдите приближенное значение произведения t1598235042an.png, если 
t1598235042ao.png
5. Найдите периметр и площадь прямоугольника, если его стороны 
t1598235042ap.png.

Повышенный уровень

Задание 2.

С какой точностью надо измерить радиус круга, чтобы относительная погрешность площади круга не превышала 0,5%? Грубое приближенное значение R=8м.



Самостоятельная работа №3

Тема «Приближенные вычисления. Действия с приближёнными числами»

Базовый уровень

Задание 1.

Округлите число до сотых и найдите абсолютную погрешность приближения: а) 245,365; б) 3,6449.
2. Запишите число в стандартном виде: а) 31265,2; б) 0,000000000000187; в) 42000000000000000; г) 478,6. 
3. Найдите приближенное значение суммы х и у, если: t1598235042aq.png.
4. Найдите приближенное значение частного t1598235042an.png, если 
t1598235042ar.png
5. Найдите периметр и площадь прямоугольника, если его стороны 
t1598235042as.png.


Повышенный уровень

Задание 2.

С какой точностью надо измерить сторону квадрата, чтобы относительная погрешность площади квадрата не превышала 1%? Приближенное значение стороны квадрата а=9 м.


Тема 1.2. Корни, степени, логарифмы (20 ч)

1.2.2. Степени с рациональными показателями, их свойства. Степени с действительными показателями, их свойства (2 ч)

Цель: закрепить свойства степени с рациональными показателями и умение их применять в ходе решения задач.

Самостоятельная работа №4

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

Преобразовывать степени с рациональными показателями;

Возводить числа в степень с рациональными показателями и вносить под знак радикала.

Самостоятельная работа №4

Тема «Степень с рациональным и действительным показателями, их свойства»

Базовый уровень

Задание 1.

Вычислить:

t1598235042at.gif

t1598235042au.gif

Преобразовать выражения так, чтобы они не содержали отрицательных показателей степеней:

t1598235042av.gif ; t1598235042aw.gif

Задание 2.

Упростите выражения:

t1598235042ax.gif

t1598235042ay.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Проверить упрощения и вычисления:

t1598235042az.gif

t1598235042ba.gif

Выполнить действия:

t1598235042bb.gif

Самостоятельная работа №4

Тема «Степень с рациональным и действительным показателями, их

свойства»

Базовый уровень

Задание 1.

1.Вычислить:

t1598235042at.gif

t1598235042au.gif

2.Преобразовать выражения так, чтобы они не содержали отрицательных показателей степеней:

t1598235042av.gif ; t1598235042aw.gif

Задание 2.

Упростите выражения:

t1598235042ax.gif

t1598235042ay.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

1.Проверить упрощения и вычисления:

t1598235042az.gif

t1598235042ba.gif

2.Выполнить действия:

t1598235042bb.gif


1.2.4. Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами (2 ч)

Цель: закрепить понятие «логарифм числа», повторить основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов и научить их применять в ходе решения задач. Отработать умение применения частных случаев формул перехода к новому основанию логарифма; отработать навыки вычисления логарифмов, используя формулу перехода к новому основанию.

Самостоятельная работа №5

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

Пользоваться определением логарифма;

Решать простейшие показательные уравнения;

Применять свойства логарифмов;

Применять алгоритм перехода к новому основанию.


Самостоятельная работа №5

Тема «Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Правила действия с логарифмами»

Базовый уровень

Задание 1.

При каком основании логарифм

числа 125 равен 1; 3.

Найти логарифмы чисел 2; 4 по

основанию t1598235042bc.gif .

Расположить числа в порядке возрастания:

t1598235042bd.gif

Задание 2.

Вычислить: t1598235042be.gif

t1598235042bf.gif

Следующие равенства переписать в виде

логарифмических равенств:

t1598235042bg.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Вычислить:

t1598235042bh.gif

t1598235042bi.gif

Известно, что положительные числа х, а, b, с связаны соотношением t1598235042bj.gif. Выразить t1598235042bk.gif через логарифмы по основанию n чисел а, b, с.

Известно, что t1598235042bl.gif и t1598235042bm.gif.

Выразить через а и b:

t1598235042bn.gif.

Найти значение выражения:


t1598235042bo.gif

Самостоятельная работа №5

Тема «Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Правила действия с логарифмами»

Базовый уровень

Задание 1.

При каком основании логарифм

числа 125 равен 1; 3.

Найти логарифмы чисел 2; 4 по

основанию t1598235042bc.gif .

Расположить числа в порядке возрастания:

t1598235042bd.gif

Задание 2.

1.Вычислить: t1598235042be.gif

t1598235042bf.gif 2.Следующие равенства переписать в виде

логарифмических равенств:

t1598235042bg.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Вычислить:

t1598235042bh.gif

t1598235042bi.gif

Известно, что положительные числа х, а, b, с связаны соотношением t1598235042bj.gif. Выразить t1598235042bk.gif через логарифмы по основанию n чисел а, b, с.

Известно, что t1598235042bl.gif и t1598235042bm.gif.

Выразить через а и b:

t1598235042bn.gif.

Найти значение выражения:


t1598235042bo.gif


1.2.7. Преобразование рациональных, иррациональных выражений (2 ч)

Цель: закрепление умения работать с рациональными и иррациональными числами.

Самостоятельная работа №6

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

Преобразовывать рациональные и иррациональные выражения.

Выполнять тождественные преобразования с рациональными и иррациональными выражениями.

Самостоятельная работа №6

Тема «Преобразование рациональных, иррациональных выражений»

Базовый уровень

Задание 1.

Освободитесь от иррациональности

в знаменателе:

t1598235042bp.gif ; t1598235042bq.gif

Выполните действия:

t1598235042br.gif

t1598235042bs.gif

Задание 2.

Упростить выражения:

t1598235042bt.gif

t1598235042bu.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Выполните подстановку и упростите полученное выражение:

t1598235042bv.gif

t1598235042bw.gif

Найдите значение выражения:

t1598235042bx.gif

Самостоятельная работа №6

Тема «Преобразование рациональных, иррациональных выражений»

Базовый уровень

Задание 1.

Освободитесь от иррациональности

в знаменателе:

t1598235042bp.gif ; t1598235042bq.gif

2.Выполните действия:

а. t1598235042br.gif

t1598235042bs.gif

Задание 2.

Упростить выражения:

t1598235042bt.gif

t1598235042bu.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Выполните подстановку и упростите полученное выражение:

t1598235042bv.gif

t1598235042bw.gif

Найдите значение выражения:

t1598235042bx.gif


Тема 1.3. Основы тригонометрии (16 ч)

1.3.1. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс, котангенс числа. Основные тригонометрические тождества (22 ч)

Цель: закрепить формулы взаимосвязи между единицами измерения углов. Повторить значения тригонометрических функций. Закрепить знание тригонометрических формул, научить применять их в преобразовании простейших тригонометрических выражений.

Самостоятельная работа №7

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

Уметь устанавливать соответствие между точками окружности и числами;

Уметь пользоваться таблицей значений тригонометрических функций «основных» углов;

Знать основные тригонометрические тождества, формулы приведения.


Самостоятельная работа №7

Тема «Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. Основные тригонометрические тождества»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти на числовой окружности точки, которые соответствуют заданным числам:
t1598235042by.gif; t1598235042bz.gif; t1598235042ca.gif

Переведите из градусной меры в радианную меру: 150, 640, 350, 670

Переведите из радианной меры в градусную меру:t1598235042cb.gif

Выберите формулу с ошибкой:

Основные тригонометрические тождества:

sin²x+cos²x=1; tg x=sin x /cos x; ctg x=cos x /sin x

tg x×ctg x=1; tg²x+1=1/sin²x; ctg²x+1=1/sin²x

Задание 2.

Вычислить

t1598235042cc.gift1598235042cd.gif

t1598235042ce.gift1598235042cf.gif

Упростить выражение:

t1598235042cg.gift1598235042ch.gif

t1598235042ci.gift1598235042cj.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Для измерения географической долготы места употребляют особую единицу, называемую часом. Час долготы равен 1/24 части полного угла, на который поворачивается Земля за сутки. Выразить час, минуту и секунду долготы в градусах, минутах, секундах дуги.

Вычислить выражения:

t1598235042ck.gif t1598235042cl.gif tg 9000; t1598235042cm.gif.

t1598235042cn.gif

Самостоятельная работа №7

Тема «Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. Основные тригонометрические тождества»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти на числовой окружности точки, которые соответствуют заданным числам:
t1598235042by.gif; t1598235042bz.gif; t1598235042ca.gif

Переведите из градусной меры в радианную меру: 150, 640, 350, 670

Переведите из радианной меры в градусную меру:t1598235042cb.gif

Выберите формулу с ошибкой:

Основные тригонометрические тождества:

sin²x+cos²x=1; tg x=sin x /cos x; ctg x=cos x /sin x

tg x×ctg x=1; tg²x+1=1/sin²x; ctg²x+1=1/sin²x

Задание 2.

Вычислить

t1598235042cc.gift1598235042cd.gif

t1598235042ce.gift1598235042cf.gif

Упростить выражение:

t1598235042cg.gift1598235042ch.gif

t1598235042ci.gift1598235042cj.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Для измерения географической долготы места употребляют особую единицу, называемую часом. Час долготы равен 1/24 части полного угла, на который поворачивается Земля за сутки. Выразить час, минуту и секунду долготы в градусах, минутах, секундах дуги.

Вычислить выражения:

t1598235042ck.gif t1598235042cl.gif tg 9000; t1598235042cm.gif.

t1598235042cn.gif


Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла (2 ч)

Цель: систематизировать знания, полученные студентами при изучении темы «Тригонометрические формулы», показать взаимосвязь основных формул тригонометрии; формировать навык преобразования тригонометрических выражений.

Самостоятельная работа №8

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

Знать основные тригонометрические формулы;

Уметь применять формулы для преобразования тригонометрических выражений.

Самостоятельная работа №8

Тема «Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла»

Базовый уровень

Задание 1.

1.Вычислите:

t1598235042co.gif

t1598235042cp.gif

2.Докажите тождества:

t1598235042cq.gif

t1598235042cr.gif

Задание 2

Упростите выражения:

t1598235042cs.gif

t1598235042ct.gif

t1598235042cu.gif

Найдите t1598235042cv.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

В равнобедренном треугольнике синус угла при вершине равен t1598235042cw.gif . Найдите синус и косинус угла при основании.

Докажите тождества:

t1598235042cx.gif

t1598235042cy.gif

t1598235042cz.gif

Самостоятельная работа №8

Тема «Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла»

Базовый уровень

Задание 1.

1.Вычислите:

t1598235042co.gif

t1598235042cp.gif

2.Докажите тождества:

t1598235042cq.gif

t1598235042cr.gif

Задание 2

1.Упростите выражения:

t1598235042cs.gif

t1598235042ct.gif

t1598235042cu.gif

Найдите t1598235042cv.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

В равнобедренном треугольнике синус угла при вершине равен t1598235042cw.gif . Найдите синус и косинус угла при основании.

Докажите тождества:

t1598235042cx.gif

t1598235042cy.gif

t1598235042cz.gif


1.3.4. Преобразование простейших тригонометрических выражений (2 ч)

Цель: систематизировать знания, полученные студентами при изучении темы «Тригонометрические формулы», показать взаимосвязь основных формул тригонометрии; формировать навык преобразования тригонометрических выражений; выделить общие методы и приёмы решения задач, указав в них стандартные приёмы, продемонстрировать технику решения как простых, так и относительно сложных задач.

Самостоятельная работа №9

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

Знать основные тригонометрические тождества, формулы приведения;

Уметь применять формулы для преобразования тригонометрических выражений.







Самостоятельная работа №9

Тема «Преобразование простейших тригонометрических выражений»

Базовый уровень

Задание 1.

Найдите значение выражения 5sin²3х – 6, если cos²3х = 0,6;

Найдите tgα, если cosα = 1/ √5 и 0 < α < π/2;

Упростите выражение:

sin(3π/2 – α)· cos(π/2 + α) + sin(2 π –α) + cos(3π/2 + α) + cosα ·sinα.

Задание 2.

Найдите значение выражения (tgα + сtgα)² – 2 при α = -π/4;

Вычислите: (sin75º + sin45º) : sin285º.

Повышенный уровень

Задание 3.

Проанализируйте следующие последовательности, выявите закономерность и продолжите запись:



2t1598235042da.png . Вычислите t1598235042db.png

3. Упростить выражения

t1598235042dc.gif


1.3.6. Обратные тригонометрические функции (2 ч)

Цель: закрепить понятие обратной функции, области определения, множества значений функции, повторить способы задания функций, свойства функции, развить навыки работы с графиками функций.

Самостоятельная работа №10

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

Знать способы задания функций;

Преобразовывать функции для того, чтобы построить их графики;

Уметь работать с графиками функций.



Самостоятельная работа №10

Тема «Обратные тригонометрические функции»

Базовый уровень

Задание 1.

Выбрать формулу, соответствующую графику функции.











Задание 2.

Указать для каждой из данных функций область определения и область значений.

Задание 3.

Нt1598235042dd.gif айти область определения и область значения функций.






Повышенный уровень

Задание 3.

Построить графики функций.




t1598235042de.gif

t1598235042df.gif

Сt1598235042df.gif амостоятельная работа №10

Тема «Обратные тригонометрические функции»

Базовый уровень

Задание 1.

Выбрать формулу, соответствующую графику функции.

t1598235042dg.gif











Задание 2.

Указать для каждой из данных функций область определения и область значений.

Задание 3.

Нt1598235042dh.gif айти область определения и область значения функций.






Повышенный уровень

Задание 3.

Построить графики функций.




t1598235042de.gif


1.3.8. Простейшие тригонометрические неравенства. Решение тригонометрических неравенств (2ч)

Цель: закрепить алгоритм решения тригонометрических неравенств с помощью числовой окружности, закрепить алгоритм решения тригонометрических неравенств, сформировать навыки решения тригонометрических неравенств.

Самостоятельная работа №11

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

Уметь пользоваться таблицей значений тригонометрических функций «основных» углов;

Уметь работать с единичной окружностью;

Знать алгоритм решения тригонометрических неравенств с помощью числовой окружности;

Знать алгоритм решения тригонометрических неравенств;

Использовать различные методы и способы при решении тригонометрических неравенств.

Самостоятельная работа №11

Тема «Простейшие тригонометрические неравенства. Решение тригонометрических неравенств»

Базовый уровень

Задание 1.

1.Решить неравенства с помощью единичной

окружности:

t1598235042di.jpg

2.Решите неравенства:

t1598235042dj.jpg

Задание 2.

Решить неравенства:

10 (sin 2x sin3x – cos2x cos3x) > sin10x ;

t1598235042dk.jpg

3) t1598235042dl.jpg

Повышенный уровень

Задание 3.

Решить тригонометрические неравенства:

t1598235042dm.gif;

t1598235042dn.gif

t1598235042do.gif

t1598235042dp.gif

Самостоятельная работа №11

Тема «Простейшие тригонометрические

неравенства. Решение тригонометрических

неравенств»

Базовый уровень

Задание 1.

1.Решить неравенства с помощью единичной

окружности:

t1598235042di.jpg

2.Решите неравенства:

t1598235042dj.jpg

Задание 2.

Решить неравенства:

1) 10 (sin 2x sin3x – cos2x cos3x) > sin10x ;

t1598235042dk.jpg

3) t1598235042dl.jpg

Повышенный уровень

Задание 3.

Решить тригонометрические неравенства:

t1598235042dm.gif;

t1598235042dn.gif

t1598235042do.gif

t1598235042dp.gif



Тема 1.4. Функции, их свойства и графики (14 ч)

1.4.1. Функции. Область определения и множество значений. График функции. Преобразования графиков функций (2 ч)

Цель: закрепить понятие функции, области определения, множества значений функции, повторить способы задания функций, свойства функции, развить навыки работы с графиками функций.

Самостоятельная работа №12

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

Знать способы задания функций;

Преобразовывать функции для того, чтобы построить их графики;

Уметь работать с графиками функций.


Самостоятельная работа №12

Тема «Функции. Область определения и множество значений. График функции. Преобразование графиков функций»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти область определения и множество значений функции с помощью графика

1t1598235042dq.png

t1598235042dr.png

t1598235042ds.png

t1598235042dt.png


Функция f задана таблицей

x

-1

0

1

2

3

4

y

-1/2

0

1/2

1

3/2

2

Чему равно f(0), f(1), f(4)? Изобразите эту зависимость в виде графика.

Задание 2.

1. Найти область определения функций:

1) у = 2х2 + 8х – 11 2) у = t1598235042du.png 3) у = t1598235042dv.png 4) у = t1598235042dw.png 5) у = t1598235042dx.png

2.Построить графики функций:

t1598235042dy.gif t1598235042dz.gift1598235042ea.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Построить графики трехчленов

t1598235042eb.gif

t1598235042ec.gif



1.4.3. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация (2 ч)

Цель: закрепить навыки исследования функции на промежутки монотонности, нахождения экстремумов функции; закрепить алгоритм исследования функции на экстремум, выработать навык построения графика функции.

Самостоятельная работа №13

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

Знать формулы и правила дифференцирования;

Знать общую схему построения графика функции;

Уметь строить графики функций.


Самостоятельная работа №13

Тема «Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти интервалы монотонности функций:

t1598235042ed.gif

t1598235042ee.gif

Найти экстремумы данной функции: t1598235042ef.gif

Задание 2.

Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

t1598235042eg.gif на отрезке [-1; 2]

t1598235042eh.gif на отрезке [0; 4]

Найти интервалы выпуклости графика функции: t1598235042ei.gif

Найти точки перегиба графика функции: t1598235042ej.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Построить график функции t1598235042ek.gif

Прямоугольный участок земли в 64 га нужно окопать вдоль всей границы рвом. Найдите такие размеры участка, чтобы длина рва была наименьшей.

Нужно изготовить коническую воронку с образующей 15 см. Найдите высоту воронки наибольшего объема.

Самостоятельная работа №13

Тема «Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти интервалы монотонности функций:

t1598235042ed.gif

t1598235042ee.gif

Найти экстремумы данной функции: t1598235042ef.gif

Задание 2.

Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

t1598235042eg.gif на отрезке [-1; 2]

t1598235042eh.gif на отрезке [0; 4]

Найти интервалы выпуклости графика функции: t1598235042ei.gif

Найти точки перегиба графика функции: t1598235042ej.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Построить график функции t1598235042ek.gif

Прямоугольный участок земли в 64 га нужно окопать вдоль всей границы рвом. Найдите такие размеры участка, чтобы длина рва была наименьшей.

Нужно изготовить коническую воронку с образующей 15 см. Найдите высоту воронки наибольшего объема.


1.4.6. Степенная, показательная функции, их свойства и графики (2 ч)

Цель: повторить свойства степенных функций с четными и нечетными показателями, отрицательными четными и нечетными показателями, рациональными показателями, свойства показательной функции; закрепить навык построения графиков и умение решения упражнений на применение свойств степенной и показательной функций.

Самостоятельная работа №14

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

Знать определения и свойства степенной и показательной функции;

Уметь строить графики функций.


Самостоятельная работа №14

Тема «Степенная, показательная функции, их свойства и графики»

Базовый уровень

Задание 1.

Постройте график функции t1598235042el.gif и найдите:

Множество значений х, на котором значения функции отрицательны;

Множество значений х, на котором функция убывает;

Наибольшее и наименьшее значение функции.

Построить схематически графики функций: t1598235042em.gif t1598235042en.gif

Задание 2.

Найдите значение аргумента x, при котором функция t1598235042eo.gifпринимает значение, равное t1598235042ep.gif.

Решите графически уравнение:

а) t1598235042eq.png ; б) t1598235042er.png ;

в) t1598235042es.png ; г) t1598235042et.png .

Повышенный уровень

Задание 3.

Известно, что количество радиоактивного вещества за сутки уменьшается в 2 раза. Определите:

Сколько радиоактивного вещества останется через 2, 3, 5 суток, если первоначальное количество было равно 350 г.;

Через сколько суток количество радиоактивного вещества уменьшится в 256 раз.

При каких значениях параметра a наименьшее на промежутке t1598235042eu.pngзначение квадратного трехчлена t1598235042ev.pngравно 3?







Самостоятельная работа №14

Тема «Степенная, показательная функции, их свойства и графики»

Базовый уровень

Задание 1.

Постройте график функции t1598235042el.gif и найдите:

Множество значений х, на котором значения функции отрицательны;

Множество значений х, на котором функция убывает;

Наибольшее и наименьшее значение функции.

Построить схематически графики функций: t1598235042em.gif t1598235042en.gif

Задание 2.

Найдите значение аргумента x, при котором функция t1598235042eo.gifпринимает значение, равное t1598235042ep.gif.

Решите графически уравнение:

а) t1598235042eq.png ; б) t1598235042er.png ;

в) t1598235042es.png ; г) t1598235042et.png .

Повышенный уровень

Задание 3.

Известно, что количество радиоактивного вещества за сутки уменьшается в 2 раза. Определите:

Сколько радиоактивного вещества останется через 2, 3, 5 суток, если первоначальное количество было равно 350 г.;

Через сколько суток количество радиоактивного вещества уменьшится в 256 раз.

При каких значениях параметра a наименьшее на промежутке t1598235042eu.pngзначение квадратного трехчлена t1598235042ev.pngравно 3?





Раздел 2. Начала математического анализа (30 ч)

Тема 2.1. Производная и ее приложения (8 ч)

2.1.1. Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Предел последовательности. Суммирование последовательностей (2 ч)

Цель: закрепление определения и свойств числовой последовательности, способов задания числовых последовательностей; формирование у учащихся понятия «предел последовательности»; совершенствование умений преобразования алгебраических выражений; развитие устных вычислительных навыков, математической речи учащихся, формирование аналитических и логических способностей.

Самостоятельная работа №15

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо уметь выполнять преобразования выражений.

Самостоятельная работа №15

Тема «Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Предел последовательности. Суммирование последовательностей»

Базовый уровень

Задание 1.

Написать четыре первых члена числовой последовательности с общим членом:

а n = n; а n = 2n-1; а n = n2 ;

t1598235042ew.gif

Найти формулу общего члена для каждой из данных числовых последовательностей:

1,2,3,4,5,..,…

2,4,6,8,10, …,…

2,-2,2,-2,2,…,…

Вычислить сумму чисел

t1598235042ex.gif , где n= 1,2, …,10.

Задание 2.

Какие из данных числовых последовательностей являются возрастающими, какие убывающими и какие колеблющимися:

1,4,9,16,25,…, n2

t1598235042ey.gif

Общий член бесконечной числовой последовательности выражается формулой t1598235042ez.gif .

Вычислить первые пять членов этой последовательности;

Дать геометрическое изображение их на числовой оси;

Показать, что данная последовательность неограниченно возрастает;

Найти порядковый номер того члена данной последовательности, начиная с которого все члены последовательностей будут больше 1000; 10000.

Повышенный уровень

Задание 3.

Найти пределы бесконечных числовых последовательностей:

t1598235042fa.gift1598235042fb.gif

Самостоятельная работа №15

Тема «Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Предел последовательности. Суммирование последовательностей»

Базовый уровень

Задание 1.

Написать четыре первых члена числовой последовательности с общим членом:

а n = n; а n = 2n-1; а n = n2 ;

t1598235042ew.gif

Найти формулу общего члена для каждой из данных числовых последовательностей:

1,2,3,4,5,..,…

2,4,6,8,10, …,…

2,-2,2,-2,2,…,…

Вычислить сумму чисел

t1598235042ex.gif , где n= 1,2, …,10.

Задание 2.

Какие из данных числовых последовательностей являются возрастающими, какие убывающими и какие колеблющимися:

1,4,9,16,25,…, n2

t1598235042ey.gif

Общий член бесконечной числовой последовательности выражается формулой t1598235042ez.gif .

Вычислить первые пять членов этой последовательности;

Дать геометрическое изображение их на числовой оси;

Показать, что данная последовательность неограниченно возрастает;

Найти порядковый номер того члена данной последовательности, начиная с которого все члены последовательностей будут больше 1000; 10000.

Повышенный уровень

Задание 3.

Найти пределы бесконечных числовых последовательностей:

t1598235042fa.gift1598235042fb.gif


2.1.3. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций (2 ч)


Цель: формирование умений вычисления производных. Закрепление умения находить производные элементарных функций.

Самостоятельная работа №16

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо знать формулы и правила дифференцирования.

Самостоятельная работа №16

Тема «Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти производные следующих функций:

t1598235042fc.gif

t1598235042fd.gif

t1598235042fe.gif

t1598235042ff.gif

t1598235042fg.gif

Задание 2.

Найти значение функции t1598235042fh.gif в точке x=2;

Найти t1598235042fi.gif, если t1598235042fj.gif;

Повышенный уровень

Задание 3.

Найти производные следующих функций:

t1598235042fk.gif

t1598235042fl.gif

t1598235042fm.gif

t1598235042fn.gif

t1598235042fo.gif

t1598235042fp.gif

t1598235042fq.gif

Самостоятельная работа №16

Тема «Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти производные следующих функций:

t1598235042fc.gif

t1598235042fd.gif

t1598235042fe.gif

t1598235042ff.gif

t1598235042fg.gif

Задание 2.

Найти значение функции t1598235042fh.gif в точке x=2;

Найти t1598235042fi.gif, если t1598235042fj.gif;

Повышенный уровень

Задание 3.

Найти производные следующих функций:

t1598235042fk.gif

t1598235042fl.gif

t1598235042fm.gif

t1598235042fn.gif

t1598235042fo.gif

t1598235042fp.gif

t1598235042fq.gif


2 семестр

2.1.5. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Применение производной к исследованию функций и построению графиков (2 ч)

Цель: формировать знания о формулах дифференцирования и умение применять их для вычисления производных. Показать межпредметные связи (математика, физика). Учить применять производную для исследования функций и построения графиков.

Самостоятельная работа №1

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо

Знать формулы и правила дифференцирования;

Уметь строить графики функций.


Самостоятельная работа №4

Тема «Вторая производная, её геометрический и физический смысл. Применение производной к исследованию функций и построению графиков»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти производные второго порядка заданных функций:

t1598235042fd.gif t1598235042fr.gif

Найти экстремумы функции t1598235042fs.gif

Задание 2.

Материальная точка движется по закону t1598235042ft.gif. Найти ее ускорение в конце 3 секунды.

В момент времени t тело находится на расстоянии t1598235042fu.gif от места отправления. Найти его ускорение через 2 ч.

Выяснить, выпукла или вогнута линия t1598235042fv.gif в окрестностях точек (1,11) и (3,3)

Найти точки перегиба линии t1598235042fw.gif, t1598235042fx.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется формулой s(t)=30t-16t2, где s(t) – путь в метрах, t – время торможения в секундах. В течение какого времени осуществляется торможение до полной остановки машины? Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки?

Доказать, что функция t1598235042fy.gif удовлетворяет соотношению t1598235042fz.gif.

Найти число, которое, будучи сложено со своим квадратом, дает наименьшую сумму.

Самостоятельная работа №4

Тема «Вторая производная, её геометрический и физический смысл. Применение производной к исследованию функций и построению графиков»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти производные второго порядка заданных функций:

t1598235042fd.gif t1598235042fr.gif

Найти экстремумы функции t1598235042fs.gif

Задание 2.

Материальная точка движется по закону t1598235042ft.gif. Найти ее ускорение в конце 3 секунды.

В момент времени t тело находится на расстоянии t1598235042fu.gif от места отправления. Найти его ускорение через 2 ч.

Выяснить, выпукла или вогнута линия t1598235042fv.gif в окрестностях точек (1,11) и (3,3)

Найти точки перегиба линии t1598235042fw.gif, t1598235042fx.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется формулой s(t)=30t-16t2, где s(t) – путь в метрах, t – время торможения в секундах. В течение какого времени осуществляется торможение до полной остановки машины? Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки?

Доказать, что функция t1598235042fy.gif удовлетворяет соотношению t1598235042fz.gif.

Найти число, которое, будучи сложено со своим квадратом, дает наименьшую сумму.


Тема 2.2. Интеграл и его приложения (8 ч)

Неопределённый интеграл и его свойства (2 ч)

Цель: совершенствовать навыки вычисления неопределенного интеграла.

Самостоятельная работа №2

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо знать алгоритм вычисления неопределенного интеграла.


Самостоятельная работа №2

Тема «Первообразная и интеграл»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти дифференциалы первого и второго порядков следующих функций:

t1598235042ga.gift1598235042gb.gif

Найти интегралы:

t1598235042gc.gift1598235042gd.gift1598235042ge.gif

Задание 2.

Найти интегралы методом подстановки:

t1598235042gf.gift1598235042gg.gift1598235042gh.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Шар радиусом 20 см был нагрет, отчего радиус его удлинился на 0,01 см. На сколько увеличился объем шара?

Найти интегралы (интегрирование по частям):

t1598235042gi.gift1598235042gj.gif

Найти интегралы (замена переменной):

t1598235042gk.gift1598235042gl.gif

При нагревании радиус круга увеличился с 40 см до 40,1 см. Найдите приближенное приращение площади круга.

Самостоятельная работа №2

Тема «Первообразная и интеграл»

Базовый уровень

Задание 1.

Найти дифференциалы первого и второго порядков следующих функций:

t1598235042ga.gift1598235042gb.gif

Найти интегралы:

t1598235042gc.gift1598235042gd.gift1598235042ge.gif

Задание 2.

Найти интегралы методом подстановки:

t1598235042gf.gift1598235042gg.gift1598235042gh.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Шар радиусом 20 см был нагрет, отчего радиус его удлинился на 0,01 см. На сколько увеличился объем шара?

Найти интегралы (интегрирование по частям):

t1598235042gi.gift1598235042gj.gif

Найти интегралы (замена переменной):

t1598235042gk.gift1598235042gl.gif

При нагревании радиус круга увеличился с 40 см до 40,1 см. Найдите приближенное приращение площади круга.


2.2.4. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница (2 ч)

Цель: закрепить формулу Ньютона - Лейбница. Совершенствовать навыки вычисления определенного интеграла и нахождения площади фигур с помощью формулы Ньютона – Лейбница.

Самостоятельная работа №3

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо

1. Знать определение криволинейной трапеции;

2. Знать алгоритм нахождения площади фигуры, ограниченной линиями;

3. Знать формулы для нахождения площади различных фигур.


Самостоятельная работа №3

Тема «Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница»

Базовый уровень

Задание 1.

Вычислить определенные интегралы:

t1598235042gm.gif t1598235042gn.gif t1598235042go.gif

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x, x=1, x=2, y=0;

Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат и прямой y=2x+4.

Задание 2.

Вычислить определенные интегралы:

t1598235042gp.gif t1598235042gq.gif

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями t1598235042gr.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции t1598235042gs.gif и двумя касательными, проведенными к нему из точки на оси y так, что угол между касательными равен 600.

Самостоятельная работа №3

Тема «Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница»

Базовый уровень

Задание 1.

Вычислить определенные интегралы:

t1598235042gm.gif t1598235042gn.gif t1598235042go.gif

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x, x=1, x=2, y=0;

Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат и прямой y=2x+4.

Задание 2.

Вычислить определенные интегралы:

t1598235042gp.gif t1598235042gq.gif

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями t1598235042gr.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции t1598235042gs.gif и двумя касательными, проведенными к нему из точки на оси y так, что угол между касательными равен 600.


Тема 2.3. Уравнения и неравенства (14 ч)

Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений. Основные приемы их решения (2 ч)

Цель: повторить основные виды рациональных и иррациональных уравнений и способы их решения. Закрепить умение решать рациональные и иррациональные уравнения различных видов. Освоить основные приемы решения рациональных и иррациональных уравнений и систем уравнений.

Самостоятельная работа №4

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

1. Знать основные виды рациональных и иррациональных уравнений;

2. Знать основные приемы решения уравнений и систем уравнений.


Самостоятельная работа №4

Тема «Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений. Основные приёмы их решения»

Базовый уровень

Задание 1.

Решить уравнения:

t1598235042gt.gif

Найти области определения уравнений:

t1598235042gu.gif

Задание 2.

Решить уравнения:

t1598235042gv.gif

Решить систему уравнений методом подстановки:

t1598235042gw.gif

Решить систему уравнений методом введения новых переменных:

t1598235042gx.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Решить задачу:

Расстояние между городами А и В по железной дороге 100 км, а по водному пути – 120 км. Из города а поезд выходит на 3 ч 30 мин позже и прибывает в город В на 30 мин раньше теплохода. Найдите средние скорости поезда и теплохода, если скорость теплохода на 30 км/ч меньше скорости поезда.

Самостоятельная работа №4

Тема «Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений. Основные приёмы их решения»

Базовый уровень

Задание 1.

Решить уравнения:

t1598235042gy.gif

Найти области определения уравнений:

t1598235042gz.gif

Задание 2.


Решить уравнения:

t1598235042ha.gif

Решить систему уравнений методом подстановки:

t1598235042gw.gif

Решить систему уравнений методом введения новых переменных:

t1598235042gx.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Решить задачу:

Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?




2.3.4. Рациональные и иррациональные неравенства. Основные приемы их решения (2 ч)

Цель: закрепить умение решать рациональные и иррациональные неравенства различных видов. Освоить основные приемы решения рациональных и иррациональных неравенств.

Самостоятельная работа №5

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

1. Знать основные виды рациональных и иррациональных неравенств;

2. Знать основные приемы решения неравенств.


Самостоятельная работа №5

Тема «Рациональные и иррациональные неравенства. Основные приёмы их решения»

Базовый уровень

Задание 1.

Решить неравенства:

t1598235042hb.gif

t1598235042hc.gif

t1598235042hd.gif

t1598235042he.gif

Задание 2.

Решить неравенства:

t1598235042hf.gif

t1598235042hg.gif

t1598235042hh.gif

t1598235042hi.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Решить графически неравенства:

t1598235042hj.gif

t1598235042hk.gif

Решить неравенства:

t1598235042hl.gif

t1598235042hm.gif

Самостоятельная работа №5

Тема «Рациональные и иррациональные неравенства. Основные приёмы их решения»

Базовый уровень

Задание 1.

Решить неравенства:

t1598235042hb.gif

t1598235042hc.gif

t1598235042hd.gif

t1598235042he.gif

Задание 2.

Решить неравенства:

t1598235042hf.gif

t1598235042hg.gif

t1598235042hh.gif

t1598235042hi.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Решить графически неравенства:

t1598235042hj.gif

t1598235042hk.gif

Решить неравенства:

t1598235042hl.gif

t1598235042hm.gif



2.3.5. Показательные и тригонометрические неравенства. Основные приемы их решения (2 ч)

Цель: закрепить способы решения показательных и тригонометрических неравенств, научить рационально использовать полученные сведения при решении неравенств. Закрепить умение решать показательные и тригонометрические неравенства. Самостоятельная работа №6

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

1. Знать способы решения показательных и тригонометрических неравенств;

2. Знать основные тригонометрические тождества, формулы приведения;

3. Уметь применять формулы для преобразования тригонометрических выражений.

4. Знать основные приемы решения неравенств.

Самостоятельная работа №6

Тема «Показательные и тригонометрические неравенства. Основные приёмы их решения»

Базовый уровень

Задание 1.

Решить неравенства:

t1598235042hn.gif

t1598235042ho.gif

t1598235042hp.gif

t1598235042hq.gif

Задание 2.

Решить неравенства:

t1598235042hr.gif

t1598235042hs.gif

t1598235042ht.gif

t1598235042hu.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Решить графически неравенство:

t1598235042hv.gif

Решить неравенства:

t1598235042hw.gif

t1598235042hx.gif

t1598235042hy.gif

Самостоятельная работа №6

Тема «Показательные и тригонометрические неравенства. Основные приёмы их решения»

Базовый уровень

Задание 1.

Решить неравенства:

t1598235042hn.gif

t1598235042hz.gif

t1598235042hp.gif

t1598235042hq.gif

Задание 2.

Решить неравенства:

t1598235042hr.gif

t1598235042hs.gif

t1598235042ht.gif

t1598235042hu.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Решить графически неравенство:

t1598235042hv.gif

Решить неравенства:

t1598235042hw.gif

t1598235042hx.gif

t1598235042ia.gif


Раздел 3. Комбинаторика, статистика и теория вероятностей (10 ч)

Тема 3. 1. Элементы комбинаторики (4 ч)

3.1.1. Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Задачи на перебор вариантов (2 ч)

Цель: закрепить понятия «перестановка», «размещение», «сочетание» и соответствующие формулы для подсчета их числа; сформировать умения определять, о каком виде комбинаций идет речь в задаче; сформировать умения применять изученные формулы для решения задач, в том числе практического содержания; сформировать умения вычислять вероятность и использовать формулы комбинаторики.

Самостоятельная работа №7

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо умения вычислять вероятность и использовать формулы комбинаторики.


Самостоятельная работа №7

Тема «Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчёт числа размещений, перестановок, сочетаний. Задачи на перебор вариантов»

Базовый уровень

Задание 1.

Вычислить:

3! 7!-5! t1598235042ib.gif

t1598235042ic.gif

t1598235042id.gif t1598235042ie.gif

Вычислить:

t1598235042if.gif t1598235042ig.gif t1598235042ih.gif t1598235042ii.gif

Задание 2.

Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

Сколькими способами можно выбрать трех дежурных, если в классе 30 учащихся?

Найти x, если известно, что t1598235042ij.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Сколько необходимо взять предметов, чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз больше числа размещений по 2?

Решить уравнения:

t1598235042ik.gif t1598235042il.gif

Решить системы уравнений:

t1598235042im.gif t1598235042in.gif

Самостоятельная работа №7

Тема «Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчёт числа размещений, перестановок, сочетаний. Задачи на перебор вариантов»

Базовый уровень

Задание 1.

Вычислить:

3! 7!-5! t1598235042ib.gif

t1598235042ic.gif

t1598235042id.gif t1598235042ie.gif

Вычислить:

t1598235042if.gif t1598235042ig.gif t1598235042ih.gif t1598235042ii.gif

Задание 2.

Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

Сколькими способами можно выбрать трех дежурных, если в классе 30 учащихся?

Найти x, если известно, что t1598235042ij.gif

Повышенный уровень

Задание 3.

Сколько необходимо взять предметов, чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз больше числа размещений по 2?

Решить уравнения:

t1598235042ik.gif t1598235042il.gif

Решить системы уравнений:

t1598235042im.gif t1598235042in.gif


Тема 3. 2. Элементы теории вероятностей (2 ч)

3.2.1. Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей (2 ч)

Цель: закрепить понятия «событие», «вероятность события», закрепить навыки сложения и умножения вероятностей.

Самостоятельная работа №8

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо умение вычислять вероятность и использовать формулы.


Самостоятельная работа №8

Тема «Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей»

Базовый уровень

Задание 1.

Бросают игральную кость. Найти вероятность того, что а) выпадет четное число очков; б) выпадет число очков, кратное трем; в) выпадет любое число очков, кратное пяти.

В корзине 5 белых и 7 черных перчаток. Найти вероятность того, что пара, которую достали наугад, окажется одноцветной.

В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Задание 2.

Имеется 3 ящика, содержащие по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

В урне 5 белых, 4 черных, 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появиться белый шар, при втором — черный и при третьем — синий.

Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий равны 0,7 и 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе хотя бы одним орудием.

Повышенный уровень

Задание 3.

Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контроллеров Вероятность того, что деталь попадет к первому контроллеру, равна 0,6, а ко второму - 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контроллером 0,94, а вторым 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контроллер.

Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания цель первым, вторым и третьим орудиями равны: 0,4, 0,3 и 0,5.

Самостоятельная работа №8

Тема «Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей»

Базовый уровень

Задание 1.

Выбирают наугад число от 1 до 100. Определить вероятность того, что в этом числе не окажется цифры 3.

В корзине 5 белых и 7 черных перчаток. Найти вероятность того, что пара, которую достали наугад, окажется одноцветной.

В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Задание 2.

Имеется 3 ящика, содержащие по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

В мешочке имеется 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному три кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекаются: а) без возвращения; б) с возвращением.

Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий равны 0,7 и 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе хотя бы одним орудием.

Повышенный уровень

Задание 3.

В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных, во второй коробке 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания цель первым, вторым и третьим орудиями равны: 0,4, 0,3 и 0,5.



Тема 3. 3. Элементы математической статистики (4 ч)

3.3.1. Представление данных (таблицы, диаграммы, графики). Понятие о задачах математической статистики (2 ч)

Цель: получить представление о возникновении математической статистики ; получить навыки по построению для заданной выборки ее графической диаграммы; расчету по заданной выборке ее числовых характеристик.

Самостоятельная работа №9

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо воспользоваться дополнительной литературой.

Форма контроля: сообщение на уроке.


Раздел 4. Геометрия (56 ч)

Тема 4.1. Прямые и плоскости в пространстве (14 ч)

4.1.1. Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми (2 ч)

Цель: совершенствовать навык использования аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей; учить находить угол между прямыми в пространстве.

Самостоятельная работа №10

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо: умение применять аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей.



Самостоятельная работа №10

Тt1598235042io.gift1598235042ip.gif ема «Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол

между прямыми»

Базовый уровень

Задание 1.
















Задание 2.

Точка М не принадлежит плоскости треугольника АВС. Каково взаимное расположение прямых МА и ВС? Ответ обоснуйте.

Повышенный уровень

Задание 3.

Прямые а, b и с имеют общую точку. Верно ли, что данные прямые лежат в одной плоскости? Ответ объясните.


Тема 4.1. Прямые и плоскости в пространстве (14 ч)

4.1.2. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей (2 ч)

Цель: закрепить вопросы теории по данной теме; выработать навык решения основных типов задач на параллельность прямой и плоскости и параллельность плоскостей.

Самостоятельная работа №11

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

Знать определения и свойства параллельности прямой и плоскости, параллельности плоскостей;

Обосновывать свою точку зрения при доказательстве.


Самостоятельная работа №11

Тема «Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей»

Базовый уровень

Задание 1.

На рисунке 1 точки М, Н и Р – середины соответственно отрезковAD, DВ, AС, PK || MH. Найдите периметр четырех угольника МНРК, если АВ = 8 см, СD = 10 см.

Зt1598235042iq.jpg адание 2.

Некоторая плоскость t1598235042ir.png пересекает боковые стороны АВ и CDтрапеции АВСD в точках М и К соответственно. Докажите, что AD || t1598235042ir.png, если М и К – середины боковых сторон трапеции.


Повышенный уровень

Задание 3.

Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и СD, АС и ВD, АD и ВС, пересекаются в одной точке.

Самостоятельная работа №11

Тема «Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей»

Базовый уровень

Задание 1.

На рисунке 1 точка А – середина отрезка PK, АВ || СD, ВC || AD, ВC || PM, CD || HK. Найдите PM и НК, если СD = 16 дм, ВC = 8 дм.


Задание 2.

Плоскость t1598235042ir.png пересекает сt1598235042is.jpg тороны ВА и ВC треугольника АВС в точках Н и К соответственно. Докажите, что AС || t1598235042ir.png, если Н и К – середины сторон АВ и ВС.


Повышенный уровень

Задание 3.

Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любые две из трех прямых, соединяющие середины отрезков АВ и СD, АС и ВD, АD и ВС, лежат в одной плоскости.



4.1.5. Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости (2 ч)

Цель: закрепить изученный материал на практике.

Самостоятельная работа №12

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо: умение применять теоретический материал на практике.


Самостоятельная работа №12

Тема «Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости»

Базовый уровень

Задание 1.

Для двух точек пространства найдите точку, относительно которой они центрально симметричны.
Задание 2.

Постройте прямую, зеркально-симметричную данной прямой относительно данной плоскости a. Рассмотрите различные случаи.
Задание 3.

Найдите движения, которые переводят вершину A куба A…D1 в вершину C1.

Повышенный уровень

Задание 4.

Докажите, что при осевой симметрии плоскость, перпендикулярная оси, переходит в себя.
Задание 4.

Каким движением является композиция (последовательное выполнение) двух осевых симметрий с параллельными осями?

Самостоятельная работа №12

Тема «Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости»

Базовый уровень

Задание 1.

Для двух точек пространства найдите прямую, относительно которой они симметричны.
Задание 2.

Постройте плоскость, центрально-симметричную данной плоскости относительно точки O. Рассмотрите различные случаи.
Задание 3.

Найдите движения, которые переводят вершину B1 куба A…D1 в вершину D.

Повышенный уровень

Задание 4.

Докажите, что при осевой симметрии прямые, перпендикулярные оси, переходят в прямые, также перпендикулярные оси.
Задание 4.

Каким движением является композиция (последовательное выполнение) двух центральных симметрий?



4.1.6. Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур (2 ч)

Цель: сформировать умение использовать параллельное проектирование для построения пространственных фигур, решать задачи и упражнения по данной теме.

Самостоятельная работа №13

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо: умение применять теоретический материал на практике.


Самостоятельная работа №13

Тема «Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур»

Базовый уровень

Задание 1.

Изобразите правильную четырехугольную пирамиду и ее высоту.
Задание 2.

Изобразите куб, две грани которого параллельны плоскости проектирования.
Задание 3.

Нt1598235042it.png а рисунке изображена параллельная проекция куба A…D1. Как расположен куб относительно плоскости проектирования?

Повышенный уровень

Задание 4.

Дан тетраэдр ABCD. Площадь его грани ADC равна S. Найдите площадь проекции его грани BDC на плоскость ADC в направлении прямой AB.
Задание 5.

Изобразите параллельную проекцию равностороннего треугольника ABC и постройте на ней изображение перпендикуляра, опущенного из точки K – середины отрезка BO (O – центр треугольника) на сторону AB.

Самостоятельная работа №13

Тема «Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур»

Базовый уровень

Задание 1.

Изобразите правильную треугольную пирамиду и ее высоту.
Задание 2.

Иt1598235042it.png зобразите куб, грани которого не параллельны плоскости проектирования.
Задание 3.

На рисунке изображена параллельная проекция куба A…D1. Как расположен куб относительно плоскости проектирования?

Повышенный уровень

Задание 4.

Дан тетраэдр ABCD. Площадь его грани ABD равна Q. Найдите площадь проекции его грани BDC на плоскость ADB в направлении прямой CM, где M – середина ребра AB.
Задание 5.

Изобразите параллельную проекцию прямоугольника ABCD, у которого AD = 2AB. Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из вершины C на диагональ BD.



Тема 4.2. Многогранники (14 ч)

4.2.3.Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр (2 ч)

Цель: сформировать умение выполнять упражнения по нахождению объёма пирамиды и тетраэдра; находить угол между плоскостями.

Самостоятельная работа №14

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

Знать основные формулы на нахождения объёма пирамиды и тетраэдра;

Уметь применять формулы для решения задач.

Уметь определять угол между плоскостями.


Самостоятельная работа №15

Тема «Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр»

Базовый уровень

Задание 1.

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите объем пирамиды.

Задание 2.

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3 см, а прилежащий к нему острый угол равен 300. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 600. Найдите объем пирамиды.
Повышенный уровень

Задание 3.

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SAD и SBC.



t1598235042iu.png

Самостоятельная работа №15

Тема «Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр»

Базовый уровень

Задание 1.

Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной, равной 1. Две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья образует с основанием угол 600. Найдите объем пирамиды.
Задание 2.

Боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, наклонены к плоскости основания под углом 300. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите объем пирамиды.
Повышенный уровень

Задание 3.

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SBC и ABC.



t1598235042iv.png



4.2.4. Решение задач на вычисление площади поверхности призмы, пирамиды (2 ч)

Цель: закрепить навыки решения задач на вычисление площади поверхности призмы, пирамиды.

Самостоятельная работа №15

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо: умение применять теоретический материал на практике.


Самостоятельная работа №15

Тема «Вычисление площади поверхности призмы, пирамиды»

Базовый уровень

Задание 1.

Нt1598235042iw.png айдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 1 см.











Задание 2.

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5 см, а высота 10 см.


t1598235042ix.png











Повышенный уровень

Задание 3.

Нt1598235042iy.png айдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см и боковым ребром 10 см.

Самостоятельная работа №15

Тема «Вычисление площади поверхности призмы, пирамиды»

Базовый уровень

Задание 1.

Нt1598235042iz.png айдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см и высота 4 см.










Задание 2.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь поверхности данной призмы.

t1598235042ja.png













Повышенный уровень

Задание 3.

Чt1598235042jb.png ему равна площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1?



Симметрии в кубе, параллелепипеде, призме и пирамиде (2 ч)

Цель: научиться строить и находить площадь сечения в кубе, параллелепипеде, призме и пирамиде.

Самостоятельная работа №16

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо: уметь анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы.


Самостоятельная работа №16

Тема «Симметрии в кубе, параллелепипеде, призме и пирамиде»

Базовый уровень

Задание 1.

Основание прямой призмы – ромб со стороной 5 см и тупым углом 120. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240 см2. Найти площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

Задание 2.

Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см. Высота пирамиды равна 16 см и проходит через вершину прямого угла. Найти площадь сечения пирамиды, проходящего через её высоту перпендикулярно к гипотенузе основания.

Повышенный уровень

Задание 3.

Ребро куба АВСДА1В1С1Д1 равно а. Постройте сечение куба, проходящее через точку А1 и середины ребер СД и АД, и найдите его площадь.

Самостоятельная работа №16

Тема «Симметрии в кубе, параллелепипеде, призме и пирамиде»

Базовый уровень

Задание 1.

Основание прямой призмы – ромб острым углом 60. Боковое ребро призмы равно 10 см, а боковая площадь боковой поверхности 240 см2. Найти площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

Задание 2.

Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота пирамиды равна 12 см и проходит через середину гипотенузы основания. Найти площадь сечения пирамиды, проходящего через её высоту и вершину прямого угла основания.

Повышенный уровень

Задание 3.

Ребро куба АВСДА1В1С1Д1 равно а. Постройте сечение куба, проходящее через точку В1 и середины ребер АД и АВ, и найдите его площадь.



Тема 4.3. Тела и поверхности вращения (8 ч)

4.3.1. Цилиндр. Площадь боковой и полной поверхностей цилиндра (2 ч)

Цель: закрепить навыки решения задач на нахождение площади боковой и полной поверхностей цилиндра; совершенствовать навык выполнять соответствующие преобразования.

Самостоятельная работа №17

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо: уметь находить площади и объём боковой и полной поверхностей цилиндра по данным формулам.


Самостоятельная работа №17

Тема «Площадь боковой и полной поверхностей цилиндра»

Базовый уровень

Задание 1.

Рt1598235042jc.png адиус основания цилиндра равен 2 м, высота - 3 м. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.


Повышенный уровень

Задание 2.

Пt1598235042jd.png лощадь осевого сечения цилиндра равна 4 м2. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.



Самостоятельная работа №17

Тема «Площадь боковой и полной поверхностей цилиндра»

Базовый уровень

Задание 1.

Оt1598235042je.png севое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания равна 1. Найдите площадь поверхности и объем цилиндра.


Повышенный уровень

Задание 2.

Пt1598235042jd.png лощадь осевого сечения цилиндра равна 9 м2. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.







4.3.3. Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере. Площади поверхностей сферы и её частей (2 ч)

Цель: знать правила сечения шара и сферы, формулы площади поверхностей сферы и её частей и уметь применять их к решению задач.

Самостоятельная работа №18

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо: уметь анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы.

Самостоятельная работа №18

Тема «Шар и сфера»

Базовый уровень

Задание 1.

Сфера проходит через точку с координатами (-3;4;-2), а её центр находится в начале координат. Составьте уравнение сферы.

Высота правильной шестиугольной призмы составляет 8 см, а диагональ боковой грани – 13 см. Найти радиус описанного шара.

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4, 6 и 12. Найти радиус описанной сферы.

Задание 2.

Радиус шара равен 63 см. Точка находится на касательной плоскости на расстоянии 16 см от точки касания. Найти расстояние от неё до поверхности шара.

Найти центр и радиус R сферы

х2-6х+у2+8у+z2-4z+4=0

Ребро куба равно а. Найти радиусы вписанного в куб и описанного около него шара.

Повышенный уровень

Задание 3.

Из деревянного цилиндра, в котором высота равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Определить, сколько процентов материала сточено.

Внутренний диаметр чугунного полога шара равен 8 см, а внешний – 10 см. Вычислить массу шара. Плотность чугуна равна 7,3 г/см3.

Самостоятельная работа №18

Тема «Шар и сфера»

Базовый уровень

Задание 1.

Сфера проходит через точку с координатами (-3;4;-2), а её центр находится в начале координат. Составьте уравнение сферы.

Высота правильной шестиугольной призмы составляет 8 см, а диагональ боковой грани – 13 см. Найти радиус описанного шара.

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4, 6 и 12. Найти радиус описанной сферы.

Задание 2.

Радиус шара равен 63 см. Точка находится на касательной плоскости на расстоянии 16 см от точки касания. Найти расстояние от неё до поверхности шара.

Найти центр и радиус R сферы

х2-6х+у2+8у+z2-4z+4=0

Ребро куба равно а. Найти радиусы вписанного в куб и описанного около него шара.

Повышенный уровень

Задание 3.

Из деревянного цилиндра, в котором высота равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Определить, сколько процентов материала сточено.

Внутренний диаметр чугунного полога шара равен 8 см, а внешний – 10 см. Вычислить массу шара. Плотность чугуна равна 7,3 г/см3.


Тема 4.4. Измерения в геометрии (10 ч)

4.4.1. Объем и его измерение. Интегральная формула объема (2 ч)

Цель: сформировать умение вычислять объём пространственных фигур, используя формулы; развитие умений работать самостоятельно.

Самостоятельная работа №19

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо воспользоваться дополнительной литературой.

Форма контроля: сообщение на уроке.


4.4.3. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы (2 ч)

Цель: научиться вычислять площади поверхностей цилиндра и конуса, объем шара и площадь сферы и выполнять преобразования выражений.

Самостоятельная работа №20

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо умение применять теоретический материал на практике.


Самостоятельная работа №20

Тема «Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы»

Базовый уровень

Задание 1.

Образующая конуса равна 4 дм, а угол при вершине осевого сечения равен 90о. Вычислите площадь боковой поверхности и объем конуса.

Зt1598235042jf.png адание 2.

Радиус шарового сектора R, угол в осевом сечении 1200. Найдите объем шарового сектора.

Задание 3.

В шаре проведена плоскость, перпендикулярная диаметру и делящая его на части, равные 3 см и 9 см. Найдите объемы частей шара.

Повышенный уровень

Задание 4.

Найдите отношение объема шара к объему вписанного в него куба.

Задание 5.

Найдите отношение объема шара к объему описанного около него октаэдра.

Самостоятельная работа №20

Тема «Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы»

Базовый уровень

Задание 1.

Рt1598235042jg.png адиус основания конуса равен 3 м, высота - 4 м. Найдите площадь поверхности и объем конуса.

Задание 2.

Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара 75 см.

Задание 3.

В шаре радиуса 13 см проведены по разные стороны от центра два равных параллельных сечения радиуса 5 см. Найдите объем полученного шарового слоя.
Повышенный уровень

Задание 4.

Найдите отношение объема шара к объему вписанного в него октаэдра.

Задание 5.

Найдите отношение объема шара к объему описанного около него куба.


Тема 4.5. Координаты и векторы (10 ч)

4.5.1. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками (2 ч)

Цель: научиться вычислять расстояние между двумя точками; вычислять координаты середин отрезков.

Самостоятельная работа №21

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

Уметь строить по координатам точки на прямоугольной системе координат в пространстве;

Определять принадлежность точки и оси координат;

Определять расстояние между двумя точками в пространстве.


Самостоятельная работа №21

Тема «Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками»

Базовый уровень

Задание 1.

Постройте по координатам точки: A(1,2,3); B(-2,0,3); C(0,0,-4); D(3,-1,0).
Задание 2.

Среди данных точек K(-6,0,0), L(10,-5,0), M(0,6,0), N(7,-8,0), P(0,0,-20), Q(0,11,-2) найдите те, которые принадлежат: а) оси Oy; б) оси Oz; в) плоскости Oxy; г) плоскости Oyz.
Задание 3.

Найдите координаты середины отрезка GH, если G(2,-3,5), H(4,1,-3).

Задание 4.

Запишите уравнение сферы с центром в точке C(-2,0,3) и: а) радиусом t1598235042jh.png ; б) проходящей через точку K(1,-4,3).


Повышенный уровень

Задание 5.

Найдите координаты оснований перпендикуляров, опущенных из данных точек E(6,-2,8) и F(-3,2,-5) на: а) ось Ox; б) плоскость Oxz.
Задание 6.

Найдите координаты точек, симметричных точкам U(8,0,6), V(20,-14,0) относительно: а) плоскости Oyz; б) оси Ox.
Задание 7.

Определите, являются ли точки A(2,3,4), B(1,2,3), C(3,4,5) вершинами треугольника.

Самостоятельная работа №21

Тема «Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками»

Базовый уровень

Задание 1.

Постройте по координатам точки: E(-1,2,0); F(1,0,-4); G(2,3,-1); H(0,-2,0).
Задание 2.

Среди точек A(0,-1,0), B(0,1,-3), C(4,0,0), D(0,0,-5), E(-1,0,7), F(0,10,10) найдите те, которые принадлежат: а) оси Ox; б) оси Oy; в) плоскости Oyz; г) плоскости Oxz.
Задание 3.

Найдите координаты середины отрезка GH, если G(3,-2,4), H(5,2,-6).

Задание 4.

Запишите уравнение сферы с центром в точке C(0,-5,6) и: а) радиусом 10; б) проходящей через точку H(2,-3,5).


Повышенный уровень

Задание 5.

Найдите координаты оснований перпендикуляров, опущенных из точек M(9,-1,-6) и N(-12,5,8) на: а) ось Oz; б) плоскость Oxy.
Задание 6.

Найдите координаты точек, симметричных точкам P(0,0,5), V(0,-1,-2) относительно: а) плоскости Oxy; б) оси Oy.
Задание 7.

Определите, являются ли точки E(-4,-5,-6), F(-1,-2,-3), G(-2,-3,-4) вершинами треугольника.


4.5.2. Уравнения сферы, плоскости и прямой (2 ч)

Цель: знать формулу уравнения сферы, плоскости и прямой и применять их при решении упражнений.

Самостоятельная работа №22

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо:

Знать основную формулу уравнения сферы, плоскости и прямой;

Уметь применять формулы для преобразования выражений;

Уметь решать системы уравнений.

Самостоятельная работа №22

Тема «Уравнения сферы, плоскости и прямой»

Базовый уровень

Задание 1.

Нt1598235042ji.png айдите координаты точек пересечения прямой с координатными плоскостями.

Задание 2.

Найдите координаты точки пересечения плоскости 2x – y + 3z – 1 = 0 с осью: а) абсцисс; б) ординат.

Задание 3.

Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку M(5,-1,3) и перпендикулярна вектору t1598235042jj.png, если N(0,-2,1).
Повышенный уровень

Задание 4.

Нt1598235042jk.png айдите значение d, при котором прямая 
пересекает ось Oz.

Задание 5.

Нt1598235042jl.png айдите условия, которым должны удовлетворять коэффициенты в уравнениях прямой
для того, чтобы прямая: а) была параллельна оси Ox; б) лежала в плоскости Oxz; в) пересекала ось Oy.

Самостоятельная работа №22

Тема «Уравнения сферы, плоскости и прямой»

Базовый уровень

Зt1598235042jm.png адание 1.

Найдите координаты точек пересечения прямой
с координатными плоскостями.


Задание 2.

Найдите координаты точки пересечения плоскости x + 4y - 6z – 7 = 0 с осью: а) ординат; б) аппликат.

Задание 3.

Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку E и перпендикулярна вектору t1598235042jn.png(4,-5,0), если F(3,-1,6).


Повышенный уровень

Задание 4.

Нt1598235042jo.png айдите значения b и d, при которых прямая 
пересекает плоскость Oxy.

Задание 5.

Нt1598235042jl.png айдите условия, которым должны удовлетворять коэффициенты в уравнениях прямой
для того, чтобы прямая: а) совпадала с осью Oz; б) была параллельна плоскости Oyz; в) проходила через начало координат.


4.5.4. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов (2 ч)

Цель: закрепить навыки вычисления координат вектора, скалярного произведения векторов; организовать поисковую деятельность студентов при решении данных видов упражнений.

Самостоятельная работа №23

Рекомендации:

При выполнении заданий необходимо уметь анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы.

Самостоятельная работа №23

Тема «Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов»

Базовый уровень

Задание 1.

Найдите координаты вектора: а) 2t1598235042jp.png + 3t1598235042jq.png - 4t1598235042jr.png; б) -5t1598235042jp.png + 10t1598235042jr.png; в) -t1598235042jq.png +t1598235042js.pngt1598235042jr.png.

Задание 2.

Найдите длину вектора: а) t1598235042jt.png(1,-2,10); б) t1598235042ju.png, если A(0,-5,1), B(2,0,-8); в) t1598235042jv.png + t1598235042jw.png, если t1598235042jv.png(6,2,-6), t1598235042jw.png(2,-2,0).
Задание 3.

Найдите координаты точки C, если: а) t1598235042jx.png(-5,6,8), D(0,-1,2); б) D(-13,t1598235042jy.png,6), t1598235042jz.png(-5,0,0).

Задание 4.

Угол между векторами t1598235042jn.png и t1598235042jx.png равен 900. Чему равен угол между векторами: а) -t1598235042jn.png и t1598235042jx.png; б) -t1598235042jx.png и t1598235042jn.png?
Повышенный уровень

Задание 5.

В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 1, найдите скалярное произведение: а) t1598235042ka.png; б) t1598235042kb.png; в) t1598235042kc.png, где H и Q – середины соответственно ребер AC и BD.

Самостоятельная работа №23

Тема «Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов»

Базовый уровень

Задание 1.

Найдите координаты вектора: а) 3t1598235042jp.png - 4t1598235042jq.png + 2t1598235042jr.png; б) -2t1598235042jp.png - t1598235042jr.png; в) t1598235042jq.png - t1598235042jy.pngt1598235042jr.png.

Задание 2.

Найдите длину вектора: а) t1598235042kd.png(0,-3,2); б) t1598235042jj.png, если M(0,-5,1), N(2,0,-8); в) t1598235042ke.png- t1598235042kf.png, если t1598235042ke.png(0,-2,6), t1598235042kf.png(-5,0,3).
Задание 3.

Найдите координаты точки E, если: а) t1598235042jn.png(0,-3,11), F(5,-1,0); б) F(5,0,-9), t1598235042kg.png(-2,4,-6).

Задание 4.

Угол между векторами t1598235042jj.png и t1598235042kh.png равен 900. Чему равен угол между векторами: а) t1598235042jj.png и -t1598235042kh.png; б) -t1598235042jj.png и -t1598235042kh.png?
Повышенный уровень

Задание 5.
В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным a, найдите скалярное произведение: а) t1598235042ki.png; б) t1598235042kj.png; в) t1598235042kk.png, где E и F – середины соответственно ребер BC и AD.


Опубликовано


Нажмите, чтобы скачать публикацию (.doc)
Размер файла: 6.85 Мбайт

Комментарии (0)

Чтобы написать комментарий необходимо авторизоваться.